Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107058 / 100877
↖ ↑ ↗
← S 69.175256°
E114.043579°		 ← 108.56 m → S 69.175256°
E114.046326°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.176232°
E114.043579°		 ← 108.55 m →
11 785 m²		 S 69.176232°
E114.046326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816791534423828 y=0.769634246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816791534423828 × 217)
    floor (0.816791534423828 × 131072)
    floor (107058.5)     		tx = 107058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769634246826172 × 217)
    floor (0.769634246826172 × 131072)
    floor (100877.5)     		ty = 100877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107058 / 100877 ti = "17/107058/100877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107058/100877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107058 ÷ 217
    107058 ÷ 131072     		x = 0.816787719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100877 ÷ 217
    100877 ÷ 131072     		y = 0.769630432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816787719726562 × 2 - 1) × π
    0.633575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99043595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769630432128906 × 2 - 1) × π
    -0.539260864257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6941379694724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99043595} λ = 1.99043595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6941379694724))-π/2
    2×atan(0.183757565403573)-π/2
    2×0.181730180328999-π/2
    0.363460360657998-1.57079632675     		φ = -1.20733597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99043595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.043579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20733597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.175256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107058 KachelY 100877 1.99043595 -1.20733597 114.043579 -69.175256
    Oben rechts KachelX + 1 107059 KachelY 100877 1.99048388 -1.20733597 114.046326 -69.175256
    Unten links KachelX 107058 KachelY + 1 100878 1.99043595 -1.20735301 114.043579 -69.176232
    Unten rechts KachelX + 1 107059 KachelY + 1 100878 1.99048388 -1.20735301 114.046326 -69.176232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20733597--1.20735301) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dl = 108.561840000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20733597--1.20735301) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dr = 108.561840000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99043595-1.99048388) × cos(-1.20733597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355510654669243 × 6371000     		do = 108.559455196495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99043595-1.99048388) × cos(-1.20735301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355494727802859 × 6371000     		du = 108.554591736245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20733597)-sin(-1.20735301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355510654669243-0.355494727802859)×R²
    abs(1.99048388-1.99043595)×1.59268663834644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59268663834644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59268663834644e-05×40589641000000     		ar = 11785.150212748m²