Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107053 / 100983
↖ ↑ ↗
← S 69.278512°
E114.029846°		 ← 108.07 m → S 69.278512°
E114.032593°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
S 69.279484°
E114.029846°		 ← 108.06 m →
11 677 m²		 S 69.279484°
E114.032593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816753387451172 y=0.770442962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816753387451172 × 217)
    floor (0.816753387451172 × 131072)
    floor (107053.5)     		tx = 107053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770442962646484 × 217)
    floor (0.770442962646484 × 131072)
    floor (100983.5)     		ty = 100983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107053 / 100983 ti = "17/107053/100983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107053/100983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107053 ÷ 217
    107053 ÷ 131072     		x = 0.816749572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100983 ÷ 217
    100983 ÷ 131072     		y = 0.770439147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816749572753906 × 2 - 1) × π
    0.633499145507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.99019626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770439147949219 × 2 - 1) × π
    -0.540878295898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.69921928083213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99019626} λ = 1.99019626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69921928083213))-π/2
    2×atan(0.18282620427096)-π/2
    2×0.180829092135454-π/2
    0.361658184270909-1.57079632675     		φ = -1.20913814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99019626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.029846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20913814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.278512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107053 KachelY 100983 1.99019626 -1.20913814 114.029846 -69.278512
    Oben rechts KachelX + 1 107054 KachelY 100983 1.99024420 -1.20913814 114.032593 -69.278512
    Unten links KachelX 107053 KachelY + 1 100984 1.99019626 -1.20915510 114.029846 -69.279484
    Unten rechts KachelX + 1 107054 KachelY + 1 100984 1.99024420 -1.20915510 114.032593 -69.279484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20913814--1.20915510) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20913814--1.20915510) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99019626-1.99024420) × cos(-1.20913814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353825640014733 × 6371000     		do = 108.067457932403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99019626-1.99024420) × cos(-1.20915510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353809777082489 × 6371000     		du = 108.062612984583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20913814)-sin(-1.20915510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353825640014733-0.353809777082489)×R²
    abs(1.99024420-1.99019626)×1.58629322442594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58629322442594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58629322442594e-05×40589641000000     		ar = 11676.6605020315m²