Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107050 / 44311
↖ ↑ ↗
← N 50.248961°
E114.021606°		 ← 195.31 m → N 50.248961°
E114.024353°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.247205°
E114.021606°		 ← 195.31 m →
38 138 m²		 N 50.247205°
E114.024353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816730499267578 y=0.338069915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816730499267578 × 217)
    floor (0.816730499267578 × 131072)
    floor (107050.5)     		tx = 107050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338069915771484 × 217)
    floor (0.338069915771484 × 131072)
    floor (44311.5)     		ty = 44311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107050 / 44311 ti = "17/107050/44311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107050/44311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107050 ÷ 217
    107050 ÷ 131072     		x = 0.816726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44311 ÷ 217
    44311 ÷ 131072     		y = 0.338066101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816726684570312 × 2 - 1) × π
    0.633453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99005245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338066101074219 × 2 - 1) × π
    0.323867797851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.01746069443569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99005245} λ = 1.99005245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01746069443569))-π/2
    2×atan(2.76616170838697)-π/2
    2×1.22390307309307-π/2
    2.44780614618614-1.57079632675     		φ = 0.87700982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99005245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.021606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87700982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.248961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107050 KachelY 44311 1.99005245 0.87700982 114.021606 50.248961
    Oben rechts KachelX + 1 107051 KachelY 44311 1.99010039 0.87700982 114.024353 50.248961
    Unten links KachelX 107050 KachelY + 1 44312 1.99005245 0.87697917 114.021606 50.247205
    Unten rechts KachelX + 1 107051 KachelY + 1 44312 1.99010039 0.87697917 114.024353 50.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87700982-0.87697917) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87700982-0.87697917) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99005245-1.99010039) × cos(0.87700982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639452940306836 × 6371000     		do = 195.305387488263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99005245-1.99010039) × cos(0.87697917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639476504653314 × 6371000     		du = 195.312584646224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87700982)-sin(0.87697917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639452940306836-0.639476504653314)×R²
    abs(1.99010039-1.99005245)×2.35643464779889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35643464779889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35643464779889e-05×40589641000000     		ar = 38138.2103176417m²