Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10705 / 14928
↖ ↑ ↗
← N 69.503765°
W121.195679°		 ← 213.86 m → N 69.503765°
W121.190186°		 →
↑
213.94 m
↓
↑
213.94 m
↓
N 69.501841°
W121.195679°		 ← 213.88 m →
45 756 m²		 N 69.501841°
W121.190186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163352966308594 y=0.227790832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163352966308594 × 216)
    floor (0.163352966308594 × 65536)
    floor (10705.5)     		tx = 10705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227790832519531 × 216)
    floor (0.227790832519531 × 65536)
    floor (14928.5)     		ty = 14928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10705 / 14928 ti = "16/10705/14928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10705/14928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10705 ÷ 216
    10705 ÷ 65536     		x = 0.163345336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14928 ÷ 216
    14928 ÷ 65536     		y = 0.227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163345336914062 × 2 - 1) × π
    -0.673309326171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11526363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227783203125 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11526363} λ = -2.11526363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7103885784436))-π/2
    2×atan(5.53111033034161)-π/2
    2×1.39193293598734-π/2
    2.78386587197468-1.57079632675     		φ = 1.21306955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11526363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.195679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21306955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.503765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10705 KachelY 14928 -2.11526363 1.21306955 -121.195679 69.503765
    Oben rechts KachelX + 1 10706 KachelY 14928 -2.11516776 1.21306955 -121.190186 69.503765
    Unten links KachelX 10705 KachelY + 1 14929 -2.11526363 1.21303597 -121.195679 69.501841
    Unten rechts KachelX + 1 10706 KachelY + 1 14929 -2.11516776 1.21303597 -121.190186 69.501841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21306955-1.21303597) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dl = 213.938179999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21306955-1.21303597) × R
    3.35799999999775e-05 × 6371000     		dr = 213.938179999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11526363--2.11516776) × cos(1.21306955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350145822534387 × 6371000     		do = 213.864786120589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11526363--2.11516776) × cos(1.21303597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350177276561876 × 6371000     		du = 213.883997855897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21306955)-sin(1.21303597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350145822534387-0.350177276561876)×R²
    abs(-2.11516776--2.11526363)×3.14540274892749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14540274892749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14540274892749e-05×40589641000000     		ar = 45755.898174819m²