Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107049 / 100989
↖ ↑ ↗
← S 69.284343°
E114.018860°		 ← 108.04 m → S 69.284343°
E114.021606°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.285314°
E114.018860°		 ← 108.03 m →
11 667 m²		 S 69.285314°
E114.021606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816722869873047 y=0.770488739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816722869873047 × 217)
    floor (0.816722869873047 × 131072)
    floor (107049.5)     		tx = 107049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770488739013672 × 217)
    floor (0.770488739013672 × 131072)
    floor (100989.5)     		ty = 100989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107049 / 100989 ti = "17/107049/100989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107049/100989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107049 ÷ 217
    107049 ÷ 131072     		x = 0.816719055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100989 ÷ 217
    100989 ÷ 131072     		y = 0.770484924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816719055175781 × 2 - 1) × π
    0.633438110351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.99000451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770484924316406 × 2 - 1) × π
    -0.540969848632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.69950690222985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99000451} λ = 1.99000451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69950690222985))-π/2
    2×atan(0.182773627104069)-π/2
    2×0.180778215066985-π/2
    0.36155643013397-1.57079632675     		φ = -1.20923990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99000451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.018860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20923990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.284343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107049 KachelY 100989 1.99000451 -1.20923990 114.018860 -69.284343
    Oben rechts KachelX + 1 107050 KachelY 100989 1.99005245 -1.20923990 114.021606 -69.284343
    Unten links KachelX 107049 KachelY + 1 100990 1.99000451 -1.20925685 114.018860 -69.285314
    Unten rechts KachelX + 1 107050 KachelY + 1 100990 1.99005245 -1.20925685 114.021606 -69.285314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20923990--1.20925685) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20923990--1.20925685) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99000451-1.99005245) × cos(-1.20923990) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353730460894802 × 6371000     		do = 108.038387779766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99000451-1.99005245) × cos(-1.20925685) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353714606705538 × 6371000     		du = 108.033545502277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20923990)-sin(-1.20925685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353730460894802-0.353714606705538)×R²
    abs(1.99005245-1.99000451)×1.58541892643083e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58541892643083e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58541892643083e-05×40589641000000     		ar = 11666.6365820385m²