Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107048 / 44312
↖ ↑ ↗
← N 50.247205°
E114.016113°		 ← 195.27 m → N 50.247205°
E114.018860°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.245448°
E114.016113°		 ← 195.28 m →
38 144 m²		 N 50.245448°
E114.018860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816715240478516 y=0.338077545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816715240478516 × 217)
    floor (0.816715240478516 × 131072)
    floor (107048.5)     		tx = 107048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338077545166016 × 217)
    floor (0.338077545166016 × 131072)
    floor (44312.5)     		ty = 44312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107048 / 44312 ti = "17/107048/44312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107048/44312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107048 ÷ 217
    107048 ÷ 131072     		x = 0.81671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44312 ÷ 217
    44312 ÷ 131072     		y = 0.33807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81671142578125 × 2 - 1) × π
    0.6334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98995658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33807373046875 × 2 - 1) × π
    0.3238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01741275753607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98995658} λ = 1.98995658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01741275753607))-π/2
    2×atan(2.76602911034902)-π/2
    2×1.22388774611492-π/2
    2.44777549222984-1.57079632675     		φ = 0.87697917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98995658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87697917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107048 KachelY 44312 1.98995658 0.87697917 114.016113 50.247205
    Oben rechts KachelX + 1 107049 KachelY 44312 1.99000451 0.87697917 114.018860 50.247205
    Unten links KachelX 107048 KachelY + 1 44313 1.98995658 0.87694851 114.016113 50.245448
    Unten rechts KachelX + 1 107049 KachelY + 1 44313 1.99000451 0.87694851 114.018860 50.245448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87697917-0.87694851) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dl = 195.334860000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87697917-0.87694851) × R
    3.06600000000712e-05 × 6371000     		dr = 195.334860000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98995658-1.99000451) × cos(0.87697917) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.639476504653314 × 6371000     		do = 195.271843597455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98995658-1.99000451) × cos(0.87694851) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.639500076086963 × 6371000     		du = 195.279041418284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87697917)-sin(0.87694851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639476504653314-0.639500076086963)×R²
    abs(1.99000451-1.98995658)×2.35714336498383e-05×R²
    4.79299999998073e-05×2.35714336498383e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×2.35714336498383e-05×40589641000000     		ar = 38144.1012267941m²