Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107048 / 100921
↖ ↑ ↗
← S 69.218176°
E114.016113°		 ← 108.35 m → S 69.218176°
E114.018860°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 69.219151°
E114.016113°		 ← 108.34 m →
11 741 m²		 S 69.219151°
E114.018860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816715240478516 y=0.769969940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816715240478516 × 217)
    floor (0.816715240478516 × 131072)
    floor (107048.5)     		tx = 107048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769969940185547 × 217)
    floor (0.769969940185547 × 131072)
    floor (100921.5)     		ty = 100921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107048 / 100921 ti = "17/107048/100921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107048/100921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107048 ÷ 217
    107048 ÷ 131072     		x = 0.81671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100921 ÷ 217
    100921 ÷ 131072     		y = 0.769966125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81671142578125 × 2 - 1) × π
    0.6334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98995658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769966125488281 × 2 - 1) × π
    -0.539932250976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.69624719305569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98995658} λ = 1.98995658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69624719305569))-π/2
    2×atan(0.18337038807833)-π/2
    2×0.181355623959455-π/2
    0.362711247918911-1.57079632675     		φ = -1.20808508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98995658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20808508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.218176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107048 KachelY 100921 1.98995658 -1.20808508 114.016113 -69.218176
    Oben rechts KachelX + 1 107049 KachelY 100921 1.99000451 -1.20808508 114.018860 -69.218176
    Unten links KachelX 107048 KachelY + 1 100922 1.98995658 -1.20810209 114.016113 -69.219151
    Unten rechts KachelX + 1 107049 KachelY + 1 100922 1.99000451 -1.20810209 114.018860 -69.219151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20808508--1.20810209) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dl = 108.370709999191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20808508--1.20810209) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dr = 108.370709999191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98995658-1.99000451) × cos(-1.20808508) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.354810382671557 × 6371000     		do = 108.345618717228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98995658-1.99000451) × cos(-1.20810209) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.35479447932004 × 6371000     		du = 108.340762437525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20808508)-sin(-1.20810209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354810382671557-0.35479447932004)×R²
    abs(1.99000451-1.98995658)×1.59033515172435e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.59033515172435e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.59033515172435e-05×40589641000000     		ar = 11741.2284866011m²