Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107047 / 100932
↖ ↑ ↗
← S 69.228894°
E114.013367°		 ← 108.31 m → S 69.228894°
E114.016113°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 69.229868°
E114.013367°		 ← 108.31 m →
11 731 m²		 S 69.229868°
E114.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816707611083984 y=0.770053863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816707611083984 × 217)
    floor (0.816707611083984 × 131072)
    floor (107047.5)     		tx = 107047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770053863525391 × 217)
    floor (0.770053863525391 × 131072)
    floor (100932.5)     		ty = 100932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107047 / 100932 ti = "17/107047/100932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107047/100932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107047 ÷ 217
    107047 ÷ 131072     		x = 0.816703796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100932 ÷ 217
    100932 ÷ 131072     		y = 0.770050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816703796386719 × 2 - 1) × π
    0.633407592773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.98990864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770050048828125 × 2 - 1) × π
    -0.54010009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69677449895151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98990864} λ = 1.98990864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69677449895151))-π/2
    2×atan(0.183273721280303)-π/2
    2×0.18126210021181-π/2
    0.36252420042362-1.57079632675     		φ = -1.20827213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98990864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.013367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20827213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.228894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107047 KachelY 100932 1.98990864 -1.20827213 114.013367 -69.228894
    Oben rechts KachelX + 1 107048 KachelY 100932 1.98995658 -1.20827213 114.016113 -69.228894
    Unten links KachelX 107047 KachelY + 1 100933 1.98990864 -1.20828913 114.013367 -69.229868
    Unten rechts KachelX + 1 107048 KachelY + 1 100933 1.98995658 -1.20828913 114.016113 -69.229868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20827213--1.20828913) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20827213--1.20828913) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98990864-1.98995658) × cos(-1.20827213) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.354635496259809 × 6371000     		do = 108.31480887585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98990864-1.98995658) × cos(-1.20828913) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.354619601129794 × 6371000     		du = 108.309954094003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20827213)-sin(-1.20828913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354635496259809-0.354619601129794)×R²
    abs(1.98995658-1.98990864)×1.58951300146537e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58951300146537e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58951300146537e-05×40589641000000     		ar = 11730.9891018454m²