Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107046 / 100981
↖ ↑ ↗
← S 69.276569°
E114.010620°		 ← 108.08 m → S 69.276569°
E114.013367°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
S 69.277541°
E114.010620°		 ← 108.07 m →
11 678 m²		 S 69.277541°
E114.013367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816699981689453 y=0.770427703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816699981689453 × 217)
    floor (0.816699981689453 × 131072)
    floor (107046.5)     		tx = 107046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770427703857422 × 217)
    floor (0.770427703857422 × 131072)
    floor (100981.5)     		ty = 100981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107046 / 100981 ti = "17/107046/100981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107046/100981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107046 ÷ 217
    107046 ÷ 131072     		x = 0.816696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100981 ÷ 217
    100981 ÷ 131072     		y = 0.770423889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816696166992188 × 2 - 1) × π
    0.633392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98986070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770423889160156 × 2 - 1) × π
    -0.540847778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.69912340703289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98986070} λ = 1.98986070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69912340703289))-π/2
    2×atan(0.182843733354041)-π/2
    2×0.180846054200025-π/2
    0.36169210840005-1.57079632675     		φ = -1.20910422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98986070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20910422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.276569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107046 KachelY 100981 1.98986070 -1.20910422 114.010620 -69.276569
    Oben rechts KachelX + 1 107047 KachelY 100981 1.98990864 -1.20910422 114.013367 -69.276569
    Unten links KachelX 107046 KachelY + 1 100982 1.98986070 -1.20912118 114.010620 -69.277541
    Unten rechts KachelX + 1 107047 KachelY + 1 100982 1.98990864 -1.20912118 114.013367 -69.277541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20910422--1.20912118) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20910422--1.20912118) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98986070-1.98990864) × cos(-1.20910422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353857365573892 × 6371000     		do = 108.077147734786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98986070-1.98990864) × cos(-1.20912118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353841502845203 × 6371000     		du = 108.072302849137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20910422)-sin(-1.20912118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353857365573892-0.353841502845203)×R²
    abs(1.98990864-1.98986070)×1.58627286897528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58627286897528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58627286897528e-05×40589641000000     		ar = 11677.7075093451m²