Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107046 / 100938
↖ ↑ ↗
← S 69.234737°
E114.010620°		 ← 108.29 m → S 69.234737°
E114.013367°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 69.235711°
E114.010620°		 ← 108.28 m →
11 728 m²		 S 69.235711°
E114.013367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816699981689453 y=0.770099639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816699981689453 × 217)
    floor (0.816699981689453 × 131072)
    floor (107046.5)     		tx = 107046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770099639892578 × 217)
    floor (0.770099639892578 × 131072)
    floor (100938.5)     		ty = 100938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107046 / 100938 ti = "17/107046/100938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107046/100938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107046 ÷ 217
    107046 ÷ 131072     		x = 0.816696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100938 ÷ 217
    100938 ÷ 131072     		y = 0.770095825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816696166992188 × 2 - 1) × π
    0.633392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98986070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770095825195312 × 2 - 1) × π
    -0.540191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69706212034923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98986070} λ = 1.98986070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69706212034923))-π/2
    2×atan(0.183221015416454)-π/2
    2×0.181211106689936-π/2
    0.362422213379872-1.57079632675     		φ = -1.20837411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98986070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20837411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.234737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107046 KachelY 100938 1.98986070 -1.20837411 114.010620 -69.234737
    Oben rechts KachelX + 1 107047 KachelY 100938 1.98990864 -1.20837411 114.013367 -69.234737
    Unten links KachelX 107046 KachelY + 1 100939 1.98986070 -1.20839111 114.010620 -69.235711
    Unten rechts KachelX + 1 107047 KachelY + 1 100939 1.98990864 -1.20839111 114.013367 -69.235711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20837411--1.20839111) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dl = 108.306999999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20837411--1.20839111) × R
    1.69999999999337e-05 × 6371000     		dr = 108.306999999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98986070-1.98990864) × cos(-1.20837411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354540142643353 × 6371000     		do = 108.285685426481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98986070-1.98990864) × cos(-1.20839111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354524246898617 × 6371000     		du = 108.280830456882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20837411)-sin(-1.20839111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354540142643353-0.354524246898617)×R²
    abs(1.98990864-1.98986070)×1.58957447355945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58957447355945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58957447355945e-05×40589641000000     		ar = 11727.8348181296m²