Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107046 / 100883
↖ ↑ ↗
← S 69.181113°
E114.010620°		 ← 108.55 m → S 69.181113°
E114.013367°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.182089°
E114.010620°		 ← 108.55 m →
11 784 m²		 S 69.182089°
E114.013367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816699981689453 y=0.769680023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816699981689453 × 217)
    floor (0.816699981689453 × 131072)
    floor (107046.5)     		tx = 107046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769680023193359 × 217)
    floor (0.769680023193359 × 131072)
    floor (100883.5)     		ty = 100883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107046 / 100883 ti = "17/107046/100883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107046/100883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107046 ÷ 217
    107046 ÷ 131072     		x = 0.816696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100883 ÷ 217
    100883 ÷ 131072     		y = 0.769676208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816696166992188 × 2 - 1) × π
    0.633392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98986070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769676208496094 × 2 - 1) × π
    -0.539352416992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.69442559087012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98986070} λ = 1.98986070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69442559087012))-π/2
    2×atan(0.183704720395811)-π/2
    2×0.18167906096443-π/2
    0.363358121928861-1.57079632675     		φ = -1.20743820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98986070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20743820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.181113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107046 KachelY 100883 1.98986070 -1.20743820 114.010620 -69.181113
    Oben rechts KachelX + 1 107047 KachelY 100883 1.98990864 -1.20743820 114.013367 -69.181113
    Unten links KachelX 107046 KachelY + 1 100884 1.98986070 -1.20745524 114.010620 -69.182089
    Unten rechts KachelX + 1 107047 KachelY + 1 100884 1.98990864 -1.20745524 114.013367 -69.182089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20743820--1.20745524) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dl = 108.561840000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20743820--1.20745524) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dr = 108.561840000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98986070-1.98990864) × cos(-1.20743820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355415101269791 × 6371000     		do = 108.55292031243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98986070-1.98990864) × cos(-1.20745524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355399173784205 × 6371000     		du = 108.548055648358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20743820)-sin(-1.20745524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355415101269791-0.355399173784205)×R²
    abs(1.98990864-1.98986070)×1.59274855856539e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59274855856539e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59274855856539e-05×40589641000000     		ar = 11784.4407083436m²