Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107044 / 100884
↖ ↑ ↗
← S 69.182089°
E114.005127°		 ← 108.55 m → S 69.182089°
E114.007874°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.183066°
E114.005127°		 ← 108.54 m →
11 784 m²		 S 69.183066°
E114.007874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816684722900391 y=0.769687652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816684722900391 × 217)
    floor (0.816684722900391 × 131072)
    floor (107044.5)     		tx = 107044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769687652587891 × 217)
    floor (0.769687652587891 × 131072)
    floor (100884.5)     		ty = 100884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107044 / 100884 ti = "17/107044/100884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107044/100884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107044 ÷ 217
    107044 ÷ 131072     		x = 0.816680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100884 ÷ 217
    100884 ÷ 131072     		y = 0.769683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816680908203125 × 2 - 1) × π
    0.63336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98976483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769683837890625 × 2 - 1) × π
    -0.53936767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69447352776974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98976483} λ = 1.98976483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69447352776974))-π/2
    2×atan(0.183695914372138)-π/2
    2×0.18167054240637-π/2
    0.363341084812741-1.57079632675     		φ = -1.20745524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98976483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20745524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.182089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107044 KachelY 100884 1.98976483 -1.20745524 114.005127 -69.182089
    Oben rechts KachelX + 1 107045 KachelY 100884 1.98981277 -1.20745524 114.007874 -69.182089
    Unten links KachelX 107044 KachelY + 1 100885 1.98976483 -1.20747228 114.005127 -69.183066
    Unten rechts KachelX + 1 107045 KachelY + 1 100885 1.98981277 -1.20747228 114.007874 -69.183066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20745524--1.20747228) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20745524--1.20747228) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98976483-1.98981277) × cos(-1.20745524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355399173784205 × 6371000     		do = 108.548055648358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98976483-1.98981277) × cos(-1.20747228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355383246195425 × 6371000     		du = 108.543190952769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20745524)-sin(-1.20747228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355399173784205-0.355383246195425)×R²
    abs(1.98981277-1.98976483)×1.59275887797183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59275887797183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59275887797183e-05×40589641000000     		ar = 11783.9125897541m²