Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107043 / 100924
↖ ↑ ↗
← S 69.221100°
E114.002380°		 ← 108.35 m → S 69.221100°
E114.005127°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 69.222074°
E114.002380°		 ← 108.35 m →
11 742 m²		 S 69.222074°
E114.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816677093505859 y=0.769992828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816677093505859 × 217)
    floor (0.816677093505859 × 131072)
    floor (107043.5)     		tx = 107043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769992828369141 × 217)
    floor (0.769992828369141 × 131072)
    floor (100924.5)     		ty = 100924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107043 / 100924 ti = "17/107043/100924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107043/100924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107043 ÷ 217
    107043 ÷ 131072     		x = 0.816673278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100924 ÷ 217
    100924 ÷ 131072     		y = 0.769989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816673278808594 × 2 - 1) × π
    0.633346557617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.98971689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769989013671875 × 2 - 1) × π
    -0.53997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69639100375455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98971689} λ = 1.98971689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69639100375455))-π/2
    2×atan(0.183344019350768)-π/2
    2×0.181330112909915-π/2
    0.36266022581983-1.57079632675     		φ = -1.20813610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98971689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.002380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20813610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.221100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107043 KachelY 100924 1.98971689 -1.20813610 114.002380 -69.221100
    Oben rechts KachelX + 1 107044 KachelY 100924 1.98976483 -1.20813610 114.005127 -69.221100
    Unten links KachelX 107043 KachelY + 1 100925 1.98971689 -1.20815311 114.002380 -69.222074
    Unten rechts KachelX + 1 107044 KachelY + 1 100925 1.98976483 -1.20815311 114.005127 -69.222074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20813610--1.20815311) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dl = 108.370710000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20813610--1.20815311) × R
    1.7010000000095e-05 × 6371000     		dr = 108.370710000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98971689-1.98976483) × cos(-1.20813610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354762681658605 × 6371000     		do = 108.353654569893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98971689-1.98976483) × cos(-1.20815311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354746777999193 × 6371000     		du = 108.348797182948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20813610)-sin(-1.20815311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354762681658605-0.354746777999193)×R²
    abs(1.98976483-1.98971689)×1.59036594121753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59036594121753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59036594121753e-05×40589641000000     		ar = 11742.0992778998m²