Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107041 / 100986
↖ ↑ ↗
← S 69.281427°
E113.996887°		 ← 108.05 m → S 69.281427°
E113.999634°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
S 69.282399°
E113.996887°		 ← 108.05 m →
11 675 m²		 S 69.282399°
E113.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816661834716797 y=0.770465850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816661834716797 × 217)
    floor (0.816661834716797 × 131072)
    floor (107041.5)     		tx = 107041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770465850830078 × 217)
    floor (0.770465850830078 × 131072)
    floor (100986.5)     		ty = 100986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107041 / 100986 ti = "17/107041/100986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107041/100986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107041 ÷ 217
    107041 ÷ 131072     		x = 0.816658020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100986 ÷ 217
    100986 ÷ 131072     		y = 0.770462036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816658020019531 × 2 - 1) × π
    0.633316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.98962102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770462036132812 × 2 - 1) × π
    -0.540924072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69936309153099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98962102} λ = 1.98962102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69936309153099))-π/2
    2×atan(0.182799913797225)-π/2
    2×0.180803651890346-π/2
    0.361607303780693-1.57079632675     		φ = -1.20918902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98962102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.996887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20918902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.281427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107041 KachelY 100986 1.98962102 -1.20918902 113.996887 -69.281427
    Oben rechts KachelX + 1 107042 KachelY 100986 1.98966896 -1.20918902 113.999634 -69.281427
    Unten links KachelX 107041 KachelY + 1 100987 1.98962102 -1.20920598 113.996887 -69.282399
    Unten rechts KachelX + 1 107042 KachelY + 1 100987 1.98966896 -1.20920598 113.999634 -69.282399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20918902--1.20920598) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20918902--1.20920598) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98962102-1.98966896) × cos(-1.20918902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353778050912694 × 6371000     		do = 108.052922995696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98962102-1.98966896) × cos(-1.20920598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353762187675152 × 6371000     		du = 108.048077954631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20918902)-sin(-1.20920598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353778050912694-0.353762187675152)×R²
    abs(1.98966896-1.98962102)×1.58632375418244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58632375418244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58632375418244e-05×40589641000000     		ar = 11675.0899657851m²