Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107041 / 100922
↖ ↑ ↗
← S 69.219151°
E113.996887°		 ← 108.36 m → S 69.219151°
E113.999634°		 →
↑
108.31 m
↓
↑
108.31 m
↓
S 69.220125°
E113.996887°		 ← 108.36 m →
11 736 m²		 S 69.220125°
E113.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816661834716797 y=0.769977569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816661834716797 × 217)
    floor (0.816661834716797 × 131072)
    floor (107041.5)     		tx = 107041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769977569580078 × 217)
    floor (0.769977569580078 × 131072)
    floor (100922.5)     		ty = 100922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107041 / 100922 ti = "17/107041/100922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107041/100922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107041 ÷ 217
    107041 ÷ 131072     		x = 0.816658020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100922 ÷ 217
    100922 ÷ 131072     		y = 0.769973754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816658020019531 × 2 - 1) × π
    0.633316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.98962102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769973754882812 × 2 - 1) × π
    -0.539947509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69629512995531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98962102} λ = 1.98962102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69629512995531))-π/2
    2×atan(0.183361598081128)-π/2
    2×0.181347119895151-π/2
    0.362694239790301-1.57079632675     		φ = -1.20810209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98962102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.996887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20810209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.219151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107041 KachelY 100922 1.98962102 -1.20810209 113.996887 -69.219151
    Oben rechts KachelX + 1 107042 KachelY 100922 1.98966896 -1.20810209 113.999634 -69.219151
    Unten links KachelX 107041 KachelY + 1 100923 1.98962102 -1.20811909 113.996887 -69.220125
    Unten rechts KachelX + 1 107042 KachelY + 1 100923 1.98966896 -1.20811909 113.999634 -69.220125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20810209--1.20811909) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dl = 108.307000000992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20810209--1.20811909) × R
    1.70000000001558e-05 × 6371000     		dr = 108.307000000992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98962102-1.98966896) × cos(-1.20810209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35479447932004 × 6371000     		do = 108.363366394167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98962102-1.98966896) × cos(-1.20811909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35477858521537 × 6371000     		du = 108.358511925486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20810209)-sin(-1.20811909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35479447932004-0.35477858521537)×R²
    abs(1.98966896-1.98962102)×1.58941046703442e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58941046703442e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58941046703442e-05×40589641000000     		ar = 11736.2482381073m²