Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107038 / 45620
↖ ↑ ↗
← N 47.894248°
E113.988648°		 ← 204.75 m → N 47.894248°
E113.991394°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
N 47.892406°
E113.988648°		 ← 204.75 m →
41 938 m²		 N 47.892406°
E113.991394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816638946533203 y=0.348056793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816638946533203 × 217)
    floor (0.816638946533203 × 131072)
    floor (107038.5)     		tx = 107038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348056793212891 × 217)
    floor (0.348056793212891 × 131072)
    floor (45620.5)     		ty = 45620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107038 / 45620 ti = "17/107038/45620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107038/45620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107038 ÷ 217
    107038 ÷ 131072     		x = 0.816635131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45620 ÷ 217
    45620 ÷ 131072     		y = 0.348052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816635131835938 × 2 - 1) × π
    0.633270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98947721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348052978515625 × 2 - 1) × π
    0.30389404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.954711292833038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98947721} λ = 1.98947721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954711292833038))-π/2
    2×atan(2.59792043638921)-π/2
    2×1.20335432113003-π/2
    2.40670864226005-1.57079632675     		φ = 0.83591232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98947721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.988648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83591232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.894248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107038 KachelY 45620 1.98947721 0.83591232 113.988648 47.894248
    Oben rechts KachelX + 1 107039 KachelY 45620 1.98952514 0.83591232 113.991394 47.894248
    Unten links KachelX 107038 KachelY + 1 45621 1.98947721 0.83588017 113.988648 47.892406
    Unten rechts KachelX + 1 107039 KachelY + 1 45621 1.98952514 0.83588017 113.991394 47.892406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83591232-0.83588017) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83591232-0.83588017) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98947721-1.98952514) × cos(0.83591232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.670501103800183 × 6371000     		do = 204.74557817379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98947721-1.98952514) × cos(0.83588017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67052495581296 × 6371000     		du = 204.752861672831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83591232)-sin(0.83588017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670501103800183-0.67052495581296)×R²
    abs(1.98952514-1.98947721)×2.38520127761044e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38520127761044e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38520127761044e-05×40589641000000     		ar = 41938.3015598692m²