Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107036 / 45619
↖ ↑ ↗
← N 47.896089°
E113.983154°		 ← 204.78 m → N 47.896089°
E113.985901°		 →
↑
204.76 m
↓
↑
204.76 m
↓
N 47.894248°
E113.983154°		 ← 204.79 m →
41 933 m²		 N 47.894248°
E113.985901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816623687744141 y=0.348049163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816623687744141 × 217)
    floor (0.816623687744141 × 131072)
    floor (107036.5)     		tx = 107036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348049163818359 × 217)
    floor (0.348049163818359 × 131072)
    floor (45619.5)     		ty = 45619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107036 / 45619 ti = "17/107036/45619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107036/45619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107036 ÷ 217
    107036 ÷ 131072     		x = 0.816619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45619 ÷ 217
    45619 ÷ 131072     		y = 0.348045349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816619873046875 × 2 - 1) × π
    0.63323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98938133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348045349121094 × 2 - 1) × π
    0.303909301757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.954759229732658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98938133} λ = 1.98938133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954759229732658))-π/2
    2×atan(2.59804497562538)-π/2
    2×1.20337039171638-π/2
    2.40674078343277-1.57079632675     		φ = 0.83594446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98938133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.983154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83594446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.896089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107036 KachelY 45619 1.98938133 0.83594446 113.983154 47.896089
    Oben rechts KachelX + 1 107037 KachelY 45619 1.98942927 0.83594446 113.985901 47.896089
    Unten links KachelX 107036 KachelY + 1 45620 1.98938133 0.83591232 113.983154 47.894248
    Unten rechts KachelX + 1 107037 KachelY + 1 45620 1.98942927 0.83591232 113.985901 47.894248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83594446-0.83591232) × R
    3.21399999999583e-05 × 6371000     		dl = 204.763939999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83594446-0.83591232) × R
    3.21399999999583e-05 × 6371000     		dr = 204.763939999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98938133-1.98942927) × cos(0.83594446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670477258513663 × 6371000     		do = 204.781012834573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98938133-1.98942927) × cos(0.83591232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670501103800183 × 6371000     		du = 204.788295798854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83594446)-sin(0.83591232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670477258513663-0.670501103800183)×R²
    abs(1.98942927-1.98938133)×2.38452865202188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38452865202188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38452865202188e-05×40589641000000     		ar = 41932.5126729043m²