Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107032 / 45595
↖ ↑ ↗
← N 47.940267°
E113.972168°		 ← 204.56 m → N 47.940267°
E113.974914°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 47.938427°
E113.972168°		 ← 204.57 m →
41 849 m²		 N 47.938427°
E113.974914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816593170166016 y=0.347866058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816593170166016 × 217)
    floor (0.816593170166016 × 131072)
    floor (107032.5)     		tx = 107032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347866058349609 × 217)
    floor (0.347866058349609 × 131072)
    floor (45595.5)     		ty = 45595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107032 / 45595 ti = "17/107032/45595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107032/45595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107032 ÷ 217
    107032 ÷ 131072     		x = 0.81658935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45595 ÷ 217
    45595 ÷ 131072     		y = 0.347862243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81658935546875 × 2 - 1) × π
    0.6331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98918959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347862243652344 × 2 - 1) × π
    0.304275512695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.95590971532354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98918959} λ = 1.98918959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95590971532354))-π/2
    2×atan(2.60103570900224)-π/2
    2×1.20375591433148-π/2
    2.40751182866296-1.57079632675     		φ = 0.83671550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98918959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.972168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83671550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.940267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107032 KachelY 45595 1.98918959 0.83671550 113.972168 47.940267
    Oben rechts KachelX + 1 107033 KachelY 45595 1.98923752 0.83671550 113.974914 47.940267
    Unten links KachelX 107032 KachelY + 1 45596 1.98918959 0.83668339 113.972168 47.938427
    Unten rechts KachelX + 1 107033 KachelY + 1 45596 1.98923752 0.83668339 113.974914 47.938427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83671550-0.83668339) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dl = 204.572809999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83671550-0.83668339) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dr = 204.572809999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98918959-1.98923752) × cos(0.83671550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669905001500061 × 6371000     		do = 204.563551165337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98918959-1.98923752) × cos(0.83668339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669928841122276 × 6371000     		du = 204.570830880771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83671550)-sin(0.83668339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669905001500061-0.669928841122276)×R²
    abs(1.98923752-1.98918959)×2.38396222150827e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38396222150827e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38396222150827e-05×40589641000000     		ar = 41848.8851050009m²