Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107029 / 100867
↖ ↑ ↗
← S 69.165489°
E113.963928°		 ← 108.61 m → S 69.165489°
E113.966675°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 69.166466°
E113.963928°		 ← 108.60 m →
11 797 m²		 S 69.166466°
E113.966675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816570281982422 y=0.769557952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816570281982422 × 217)
    floor (0.816570281982422 × 131072)
    floor (107029.5)     		tx = 107029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769557952880859 × 217)
    floor (0.769557952880859 × 131072)
    floor (100867.5)     		ty = 100867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107029 / 100867 ti = "17/107029/100867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107029/100867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107029 ÷ 217
    107029 ÷ 131072     		x = 0.816566467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100867 ÷ 217
    100867 ÷ 131072     		y = 0.769554138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816566467285156 × 2 - 1) × π
    0.633132934570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.98904578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769554138183594 × 2 - 1) × π
    -0.539108276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.6936586004762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98904578} λ = 1.98904578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6936586004762))-π/2
    2×atan(0.18384567419987)-π/2
    2×0.181815409814518-π/2
    0.363630819629037-1.57079632675     		φ = -1.20716551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98904578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.963928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20716551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.165489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107029 KachelY 100867 1.98904578 -1.20716551 113.963928 -69.165489
    Oben rechts KachelX + 1 107030 KachelY 100867 1.98909371 -1.20716551 113.966675 -69.165489
    Unten links KachelX 107029 KachelY + 1 100868 1.98904578 -1.20718256 113.963928 -69.166466
    Unten rechts KachelX + 1 107030 KachelY + 1 100868 1.98909371 -1.20718256 113.966675 -69.166466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20716551--1.20718256) × R
    1.70499999998519e-05 × 6371000     		dl = 108.625549999056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20716551--1.20718256) × R
    1.70499999998519e-05 × 6371000     		dr = 108.625549999056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98904578-1.98909371) × cos(-1.20716551) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.355669973731545 × 6371000     		do = 108.608105188275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98904578-1.98909371) × cos(-1.20718256) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.355654038551823 × 6371000     		du = 108.603239189446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20716551)-sin(-1.20718256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355669973731545-0.355654038551823)×R²
    abs(1.98909371-1.98904578)×1.59351797218155e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.59351797218155e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.59351797218155e-05×40589641000000     		ar = 11797.3508748427m²