Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107028 / 100919
↖ ↑ ↗
← S 69.216227°
E113.961182°		 ← 108.38 m → S 69.216227°
E113.963928°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 69.217202°
E113.961182°		 ← 108.37 m →
11 745 m²		 S 69.217202°
E113.963928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816562652587891 y=0.769954681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816562652587891 × 217)
    floor (0.816562652587891 × 131072)
    floor (107028.5)     		tx = 107028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769954681396484 × 217)
    floor (0.769954681396484 × 131072)
    floor (100919.5)     		ty = 100919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107028 / 100919 ti = "17/107028/100919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107028/100919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107028 ÷ 217
    107028 ÷ 131072     		x = 0.816558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100919 ÷ 217
    100919 ÷ 131072     		y = 0.769950866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816558837890625 × 2 - 1) × π
    0.63311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98899784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769950866699219 × 2 - 1) × π
    -0.539901733398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.69615131925645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98899784} λ = 1.98899784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69615131925645))-π/2
    2×atan(0.183387969336881)-π/2
    2×0.181372633231512-π/2
    0.362745266463024-1.57079632675     		φ = -1.20805106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98899784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20805106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.216227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107028 KachelY 100919 1.98899784 -1.20805106 113.961182 -69.216227
    Oben rechts KachelX + 1 107029 KachelY 100919 1.98904578 -1.20805106 113.963928 -69.216227
    Unten links KachelX 107028 KachelY + 1 100920 1.98899784 -1.20806807 113.961182 -69.217202
    Unten rechts KachelX + 1 107029 KachelY + 1 100920 1.98904578 -1.20806807 113.963928 -69.217202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20805106--1.20806807) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dl = 108.370709999191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20805106--1.20806807) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dr = 108.370709999191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98899784-1.98904578) × cos(-1.20805106) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.354842189066605 × 6371000     		do = 108.377938179319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98899784-1.98904578) × cos(-1.20806807) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.354826285920414 × 6371000     		du = 108.373080949125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20805106)-sin(-1.20806807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354842189066605-0.354826285920414)×R²
    abs(1.98904578-1.98899784)×1.5903146190932e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5903146190932e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5903146190932e-05×40589641000000     		ar = 11744.730918425m²