Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107028 / 100868
↖ ↑ ↗
← S 69.166466°
E113.961182°		 ← 108.63 m → S 69.166466°
E113.963928°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 69.167443°
E113.961182°		 ← 108.62 m →
11 799 m²		 S 69.167443°
E113.963928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816562652587891 y=0.769565582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816562652587891 × 217)
    floor (0.816562652587891 × 131072)
    floor (107028.5)     		tx = 107028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769565582275391 × 217)
    floor (0.769565582275391 × 131072)
    floor (100868.5)     		ty = 100868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107028 / 100868 ti = "17/107028/100868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107028/100868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107028 ÷ 217
    107028 ÷ 131072     		x = 0.816558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100868 ÷ 217
    100868 ÷ 131072     		y = 0.769561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816558837890625 × 2 - 1) × π
    0.63311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98899784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69370653737582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98899784} λ = 1.98899784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69370653737582))-π/2
    2×atan(0.18383686141947)-π/2
    2×0.181806885147505-π/2
    0.36361377029501-1.57079632675     		φ = -1.20718256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98899784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20718256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.166466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107028 KachelY 100868 1.98899784 -1.20718256 113.961182 -69.166466
    Oben rechts KachelX + 1 107029 KachelY 100868 1.98904578 -1.20718256 113.963928 -69.166466
    Unten links KachelX 107028 KachelY + 1 100869 1.98899784 -1.20719961 113.961182 -69.167443
    Unten rechts KachelX + 1 107029 KachelY + 1 100869 1.98904578 -1.20719961 113.963928 -69.167443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20718256--1.20719961) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20718256--1.20719961) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98899784-1.98904578) × cos(-1.20718256) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.355654038551823 × 6371000     		do = 108.625897909111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98899784-1.98904578) × cos(-1.20719961) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.355638103268712 × 6371000     		du = 108.621030863475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20718256)-sin(-1.20719961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355654038551823-0.355638103268712)×R²
    abs(1.98904578-1.98899784)×1.59352831115567e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.59352831115567e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.59352831115567e-05×40589641000000     		ar = 11799.2835623483m²