Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107027 / 45589
↖ ↑ ↗
← N 47.951305°
E113.958435°		 ← 204.56 m → N 47.951305°
E113.961182°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 47.949466°
E113.958435°		 ← 204.57 m →
41 849 m²		 N 47.949466°
E113.961182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816555023193359 y=0.347820281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816555023193359 × 217)
    floor (0.816555023193359 × 131072)
    floor (107027.5)     		tx = 107027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347820281982422 × 217)
    floor (0.347820281982422 × 131072)
    floor (45589.5)     		ty = 45589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107027 / 45589 ti = "17/107027/45589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107027/45589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107027 ÷ 217
    107027 ÷ 131072     		x = 0.816551208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45589 ÷ 217
    45589 ÷ 131072     		y = 0.347816467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816551208496094 × 2 - 1) × π
    0.633102416992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.98894990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347816467285156 × 2 - 1) × π
    0.304367065429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.95619733672126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98894990} λ = 1.98894990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95619733672126))-π/2
    2×atan(2.60178393012543)-π/2
    2×1.20385224355151-π/2
    2.40770448710302-1.57079632675     		φ = 0.83690816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98894990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.958435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83690816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.951305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107027 KachelY 45589 1.98894990 0.83690816 113.958435 47.951305
    Oben rechts KachelX + 1 107028 KachelY 45589 1.98899784 0.83690816 113.961182 47.951305
    Unten links KachelX 107027 KachelY + 1 45590 1.98894990 0.83687605 113.958435 47.949466
    Unten rechts KachelX + 1 107028 KachelY + 1 45590 1.98899784 0.83687605 113.961182 47.949466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83690816-0.83687605) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83690816-0.83687605) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98894990-1.98899784) × cos(0.83690816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669761949262784 × 6371000     		do = 204.562538977294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98894990-1.98899784) × cos(0.83687605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669785793028873 × 6371000     		du = 204.569821477196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83690816)-sin(0.83687605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669761949262784-0.669785793028873)×R²
    abs(1.98899784-1.98894990)×2.38437660881052e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38437660881052e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38437660881052e-05×40589641000000     		ar = 41848.6783238597m²