Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107027 / 44293
↖ ↑ ↗
← N 50.280564°
E113.958435°		 ← 195.18 m → N 50.280564°
E113.961182°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 50.278809°
E113.958435°		 ← 195.18 m →
38 100 m²		 N 50.278809°
E113.961182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816555023193359 y=0.337932586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816555023193359 × 217)
    floor (0.816555023193359 × 131072)
    floor (107027.5)     		tx = 107027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337932586669922 × 217)
    floor (0.337932586669922 × 131072)
    floor (44293.5)     		ty = 44293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107027 / 44293 ti = "17/107027/44293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107027/44293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107027 ÷ 217
    107027 ÷ 131072     		x = 0.816551208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44293 ÷ 217
    44293 ÷ 131072     		y = 0.337928771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816551208496094 × 2 - 1) × π
    0.633102416992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.98894990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337928771972656 × 2 - 1) × π
    0.324142456054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.01832355862885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98894990} λ = 1.98894990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01832355862885))-π/2
    2×atan(2.76854956032545)-π/2
    2×1.22417886211319-π/2
    2.44835772422638-1.57079632675     		φ = 0.87756140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98894990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.958435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87756140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.280564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107027 KachelY 44293 1.98894990 0.87756140 113.958435 50.280564
    Oben rechts KachelX + 1 107028 KachelY 44293 1.98899784 0.87756140 113.961182 50.280564
    Unten links KachelX 107027 KachelY + 1 44294 1.98894990 0.87753076 113.958435 50.278809
    Unten rechts KachelX + 1 107028 KachelY + 1 44294 1.98899784 0.87753076 113.961182 50.278809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87756140-0.87753076) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dl = 195.207440000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87756140-0.87753076) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dr = 195.207440000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98894990-1.98899784) × cos(0.87756140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639028771671111 × 6371000     		do = 195.175835468812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98894990-1.98899784) × cos(0.87753076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639052339133115 × 6371000     		du = 195.183033578335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87756140)-sin(0.87753076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639028771671111-0.639052339133115)×R²
    abs(1.98899784-1.98894990)×2.35674620042703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35674620042703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35674620042703e-05×40589641000000     		ar = 38100.4777569734m²