Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107026 / 100917
↖ ↑ ↗
← S 69.214278°
E113.955689°		 ← 108.37 m → S 69.214278°
E113.958435°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 69.215253°
E113.955689°		 ← 108.36 m →
11 743 m²		 S 69.215253°
E113.958435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816547393798828 y=0.769939422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816547393798828 × 217)
    floor (0.816547393798828 × 131072)
    floor (107026.5)     		tx = 107026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769939422607422 × 217)
    floor (0.769939422607422 × 131072)
    floor (100917.5)     		ty = 100917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107026 / 100917 ti = "17/107026/100917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107026/100917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107026 ÷ 217
    107026 ÷ 131072     		x = 0.816543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100917 ÷ 217
    100917 ÷ 131072     		y = 0.769935607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816543579101562 × 2 - 1) × π
    0.633087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98890197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769935607910156 × 2 - 1) × π
    -0.539871215820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.69605544545721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98890197} λ = 1.98890197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69605544545721))-π/2
    2×atan(0.183405552281094)-π/2
    2×0.181389644028261-π/2
    0.362779288056522-1.57079632675     		φ = -1.20801704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98890197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.955689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20801704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.214278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107026 KachelY 100917 1.98890197 -1.20801704 113.955689 -69.214278
    Oben rechts KachelX + 1 107027 KachelY 100917 1.98894990 -1.20801704 113.958435 -69.214278
    Unten links KachelX 107026 KachelY + 1 100918 1.98890197 -1.20803405 113.955689 -69.215253
    Unten rechts KachelX + 1 107027 KachelY + 1 100918 1.98894990 -1.20803405 113.958435 -69.215253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20801704--1.20803405) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dl = 108.370709999191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20801704--1.20803405) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dr = 108.370709999191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98890197-1.98894990) × cos(-1.20801704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354873995050972 × 6371000     		do = 108.365043523041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98890197-1.98894990) × cos(-1.20803405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354858092110126 × 6371000     		du = 108.360187368741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20801704)-sin(-1.20803405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354873995050972-0.354858092110126)×R²
    abs(1.98894990-1.98890197)×1.59029408461908e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59029408461908e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59029408461908e-05×40589641000000     		ar = 11743.3335734902m²