Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107026 / 100914
↖ ↑ ↗
← S 69.211354°
E113.955689°		 ← 108.38 m → S 69.211354°
E113.958435°		 →
↑
108.37 m
↓
↑
108.37 m
↓
S 69.212328°
E113.955689°		 ← 108.37 m →
11 745 m²		 S 69.212328°
E113.958435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816547393798828 y=0.769916534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816547393798828 × 217)
    floor (0.816547393798828 × 131072)
    floor (107026.5)     		tx = 107026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769916534423828 × 217)
    floor (0.769916534423828 × 131072)
    floor (100914.5)     		ty = 100914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107026 / 100914 ti = "17/107026/100914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107026/100914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107026 ÷ 217
    107026 ÷ 131072     		x = 0.816543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100914 ÷ 217
    100914 ÷ 131072     		y = 0.769912719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816543579101562 × 2 - 1) × π
    0.633087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98890197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.539825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69591163475835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98890197} λ = 1.98890197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69591163475835))-π/2
    2×atan(0.183431929858386)-π/2
    2×0.181415163082441-π/2
    0.362830326164882-1.57079632675     		φ = -1.20796600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98890197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.955689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20796600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.211354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107026 KachelY 100914 1.98890197 -1.20796600 113.955689 -69.211354
    Oben rechts KachelX + 1 107027 KachelY 100914 1.98894990 -1.20796600 113.958435 -69.211354
    Unten links KachelX 107026 KachelY + 1 100915 1.98890197 -1.20798301 113.955689 -69.212328
    Unten rechts KachelX + 1 107027 KachelY + 1 100915 1.98894990 -1.20798301 113.958435 -69.212328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20796600--1.20798301) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dl = 108.370709999191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20796600--1.20798301) × R
    1.7009999999873e-05 × 6371000     		dr = 108.370709999191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98890197-1.98894990) × cos(-1.20796600) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354921712606377 × 6371000     		do = 108.379614652626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98890197-1.98894990) × cos(-1.20798301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354905809973643 × 6371000     		du = 108.374758592412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20796600)-sin(-1.20798301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354921712606377-0.354905809973643)×R²
    abs(1.98894990-1.98890197)×1.59026327341549e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59026327341549e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59026327341549e-05×40589641000000     		ar = 11744.912662329m²