Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107025 / 100915
↖ ↑ ↗
← S 69.212328°
E113.952942°		 ← 108.40 m → S 69.212328°
E113.955689°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
S 69.213303°
E113.952942°		 ← 108.39 m →
11 754 m²		 S 69.213303°
E113.955689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816539764404297 y=0.769924163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816539764404297 × 217)
    floor (0.816539764404297 × 131072)
    floor (107025.5)     		tx = 107025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769924163818359 × 217)
    floor (0.769924163818359 × 131072)
    floor (100915.5)     		ty = 100915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107025 / 100915 ti = "17/107025/100915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107025/100915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107025 ÷ 217
    107025 ÷ 131072     		x = 0.816535949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100915 ÷ 217
    100915 ÷ 131072     		y = 0.769920349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816535949707031 × 2 - 1) × π
    0.633071899414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.98885403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769920349121094 × 2 - 1) × π
    -0.539840698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.69595957165797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98885403} λ = 1.98885403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69595957165797))-π/2
    2×atan(0.183423136911132)-π/2
    2×0.181406656349821-π/2
    0.362813312699642-1.57079632675     		φ = -1.20798301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98885403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.952942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20798301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.212328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107025 KachelY 100915 1.98885403 -1.20798301 113.952942 -69.212328
    Oben rechts KachelX + 1 107026 KachelY 100915 1.98890197 -1.20798301 113.955689 -69.212328
    Unten links KachelX 107025 KachelY + 1 100916 1.98885403 -1.20800003 113.952942 -69.213303
    Unten rechts KachelX + 1 107026 KachelY + 1 100916 1.98890197 -1.20800003 113.955689 -69.213303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20798301--1.20800003) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20798301--1.20800003) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98885403-1.98890197) × cos(-1.20798301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354905809973643 × 6371000     		do = 108.397369641428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98885403-1.98890197) × cos(-1.20800003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354889897889139 × 6371000     		du = 108.392509681244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20798301)-sin(-1.20800003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354905809973643-0.354889897889139)×R²
    abs(1.98890197-1.98885403)×1.59120845038552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59120845038552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59120845038552e-05×40589641000000     		ar = 11753.7424132872m²