Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107021 / 100901
↖ ↑ ↗
← S 69.198677°
E113.941956°		 ← 108.47 m → S 69.198677°
E113.944702°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
S 69.199653°
E113.941956°		 ← 108.46 m →
11 761 m²		 S 69.199653°
E113.944702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816509246826172 y=0.769817352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816509246826172 × 217)
    floor (0.816509246826172 × 131072)
    floor (107021.5)     		tx = 107021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769817352294922 × 217)
    floor (0.769817352294922 × 131072)
    floor (100901.5)     		ty = 100901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107021 / 100901 ti = "17/107021/100901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107021/100901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107021 ÷ 217
    107021 ÷ 131072     		x = 0.816505432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100901 ÷ 217
    100901 ÷ 131072     		y = 0.769813537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816505432128906 × 2 - 1) × π
    0.633010864257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.98866228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769813537597656 × 2 - 1) × π
    -0.539627075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.69528845506329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98866228} λ = 1.98866228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69528845506329))-π/2
    2×atan(0.183546276538063)-π/2
    2×0.181525785305251-π/2
    0.363051570610502-1.57079632675     		φ = -1.20774476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98866228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.941956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20774476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.198677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107021 KachelY 100901 1.98866228 -1.20774476 113.941956 -69.198677
    Oben rechts KachelX + 1 107022 KachelY 100901 1.98871022 -1.20774476 113.944702 -69.198677
    Unten links KachelX 107021 KachelY + 1 100902 1.98866228 -1.20776178 113.941956 -69.199653
    Unten rechts KachelX + 1 107022 KachelY + 1 100902 1.98871022 -1.20776178 113.944702 -69.199653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20774476--1.20776178) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20774476--1.20776178) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98866228-1.98871022) × cos(-1.20774476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355128540315103 × 6371000     		do = 108.465397220789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98866228-1.98871022) × cos(-1.20776178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355112629670167 × 6371000     		du = 108.460537700285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20774476)-sin(-1.20776178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355128540315103-0.355112629670167)×R²
    abs(1.98871022-1.98866228)×1.59106449361124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59106449361124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59106449361124e-05×40589641000000     		ar = 11761.1189683474m²