Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107020 / 44302
↖ ↑ ↗
← N 50.264765°
E113.939209°		 ← 195.24 m → N 50.264765°
E113.941956°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 50.263010°
E113.939209°		 ← 195.25 m →
38 113 m²		 N 50.263010°
E113.941956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816501617431641 y=0.338001251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816501617431641 × 217)
    floor (0.816501617431641 × 131072)
    floor (107020.5)     		tx = 107020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338001251220703 × 217)
    floor (0.338001251220703 × 131072)
    floor (44302.5)     		ty = 44302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107020 / 44302 ti = "17/107020/44302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107020/44302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107020 ÷ 217
    107020 ÷ 131072     		x = 0.816497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44302 ÷ 217
    44302 ÷ 131072     		y = 0.337997436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816497802734375 × 2 - 1) × π
    0.63299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98861434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337997436523438 × 2 - 1) × π
    0.324005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01789212653227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98861434} λ = 1.98861434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01789212653227))-π/2
    2×atan(2.76735537680722)-π/2
    2×1.22404099047805-π/2
    2.44808198095609-1.57079632675     		φ = 0.87728565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98861434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87728565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.264765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107020 KachelY 44302 1.98861434 0.87728565 113.939209 50.264765
    Oben rechts KachelX + 1 107021 KachelY 44302 1.98866228 0.87728565 113.941956 50.264765
    Unten links KachelX 107020 KachelY + 1 44303 1.98861434 0.87725501 113.939209 50.263010
    Unten rechts KachelX + 1 107021 KachelY + 1 44303 1.98866228 0.87725501 113.941956 50.263010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87728565-0.87725501) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dl = 195.207440000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87728565-0.87725501) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dr = 195.207440000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98861434-1.98866228) × cos(0.87728565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63924084953908 × 6371000     		do = 195.240609508574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98861434-1.98866228) × cos(0.87725501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639264411600948 × 6371000     		du = 195.247805968756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87728565)-sin(0.87725501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63924084953908-0.639264411600948)×R²
    abs(1.98866228-1.98861434)×2.35620618675991e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35620618675991e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35620618675991e-05×40589641000000     		ar = 38113.1219704858m²