Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107020 / 100900
↖ ↑ ↗
← S 69.197702°
E113.939209°		 ← 108.47 m → S 69.197702°
E113.941956°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
S 69.198677°
E113.939209°		 ← 108.47 m →
11 769 m²		 S 69.198677°
E113.941956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816501617431641 y=0.769809722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816501617431641 × 217)
    floor (0.816501617431641 × 131072)
    floor (107020.5)     		tx = 107020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769809722900391 × 217)
    floor (0.769809722900391 × 131072)
    floor (100900.5)     		ty = 100900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107020 / 100900 ti = "17/107020/100900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107020/100900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107020 ÷ 217
    107020 ÷ 131072     		x = 0.816497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100900 ÷ 217
    100900 ÷ 131072     		y = 0.769805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816497802734375 × 2 - 1) × π
    0.63299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98861434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.53961181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69524051816367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98861434} λ = 1.98861434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69524051816367))-π/2
    2×atan(0.183555075388391)-π/2
    2×0.181534297376652-π/2
    0.363068594753303-1.57079632675     		φ = -1.20772773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98861434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20772773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.197702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107020 KachelY 100900 1.98861434 -1.20772773 113.939209 -69.197702
    Oben rechts KachelX + 1 107021 KachelY 100900 1.98866228 -1.20772773 113.941956 -69.197702
    Unten links KachelX 107020 KachelY + 1 100901 1.98861434 -1.20774476 113.939209 -69.198677
    Unten rechts KachelX + 1 107021 KachelY + 1 100901 1.98866228 -1.20774476 113.941956 -69.198677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20772773--1.20774476) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20772773--1.20774476) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98861434-1.98866228) × cos(-1.20772773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355144460205279 × 6371000     		do = 108.470259565027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98861434-1.98866228) × cos(-1.20774476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355128540315103 × 6371000     		du = 108.465397220789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20772773)-sin(-1.20774476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355144460205279-0.355128540315103)×R²
    abs(1.98866228-1.98861434)×1.59198901765745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59198901765745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59198901765745e-05×40589641000000     		ar = 11768.5565460749m²