Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107019 / 100975
↖ ↑ ↗
← S 69.270737°
E113.936463°		 ← 108.08 m → S 69.270737°
E113.939209°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
S 69.271708°
E113.936463°		 ← 108.08 m →
11 678 m²		 S 69.271708°
E113.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816493988037109 y=0.770381927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816493988037109 × 217)
    floor (0.816493988037109 × 131072)
    floor (107019.5)     		tx = 107019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770381927490234 × 217)
    floor (0.770381927490234 × 131072)
    floor (100975.5)     		ty = 100975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107019 / 100975 ti = "17/107019/100975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107019/100975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107019 ÷ 217
    107019 ÷ 131072     		x = 0.816490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100975 ÷ 217
    100975 ÷ 131072     		y = 0.770378112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816490173339844 × 2 - 1) × π
    0.632980346679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.98856641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770378112792969 × 2 - 1) × π
    -0.540756225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.69883578563517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98856641} λ = 1.98856641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69883578563517))-π/2
    2×atan(0.182896330687889)-π/2
    2×0.180896949520615-π/2
    0.36179389904123-1.57079632675     		φ = -1.20900243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98856641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.936463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20900243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.270737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107019 KachelY 100975 1.98856641 -1.20900243 113.936463 -69.270737
    Oben rechts KachelX + 1 107020 KachelY 100975 1.98861434 -1.20900243 113.939209 -69.270737
    Unten links KachelX 107019 KachelY + 1 100976 1.98856641 -1.20901939 113.936463 -69.271708
    Unten rechts KachelX + 1 107020 KachelY + 1 100976 1.98861434 -1.20901939 113.939209 -69.271708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20900243--1.20901939) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20900243--1.20901939) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98856641-1.98861434) × cos(-1.20900243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353952567866307 × 6371000     		do = 108.083674647434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98856641-1.98861434) × cos(-1.20901939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35393670574857 × 6371000     		du = 108.078830958962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20900243)-sin(-1.20901939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353952567866307-0.35393670574857)×R²
    abs(1.98861434-1.98856641)×1.58621177366314e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58621177366314e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58621177366314e-05×40589641000000     		ar = 11678.4128210944m²