Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107019 / 100902
↖ ↑ ↗
← S 69.199653°
E113.936463°		 ← 108.44 m → S 69.199653°
E113.939209°		 →
↑
108.43 m
↓
↑
108.43 m
↓
S 69.200628°
E113.936463°		 ← 108.43 m →
11 758 m²		 S 69.200628°
E113.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816493988037109 y=0.769824981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816493988037109 × 217)
    floor (0.816493988037109 × 131072)
    floor (107019.5)     		tx = 107019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769824981689453 × 217)
    floor (0.769824981689453 × 131072)
    floor (100902.5)     		ty = 100902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107019 / 100902 ti = "17/107019/100902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107019/100902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107019 ÷ 217
    107019 ÷ 131072     		x = 0.816490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100902 ÷ 217
    100902 ÷ 131072     		y = 0.769821166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816490173339844 × 2 - 1) × π
    0.632980346679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.98856641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769821166992188 × 2 - 1) × π
    -0.539642333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69533639196291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98856641} λ = 1.98856641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69533639196291))-π/2
    2×atan(0.183537478109516)-π/2
    2×0.181517273615286-π/2
    0.363034547230573-1.57079632675     		φ = -1.20776178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98856641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.936463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20776178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.199653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107019 KachelY 100902 1.98856641 -1.20776178 113.936463 -69.199653
    Oben rechts KachelX + 1 107020 KachelY 100902 1.98861434 -1.20776178 113.939209 -69.199653
    Unten links KachelX 107019 KachelY + 1 100903 1.98856641 -1.20777880 113.936463 -69.200628
    Unten rechts KachelX + 1 107020 KachelY + 1 100903 1.98861434 -1.20777880 113.939209 -69.200628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20776178--1.20777880) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dl = 108.434420000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20776178--1.20777880) × R
    1.70200000000342e-05 × 6371000     		dr = 108.434420000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98856641-1.98861434) × cos(-1.20776178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355112629670167 × 6371000     		do = 108.437913474787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98856641-1.98861434) × cos(-1.20777880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355096718922361 × 6371000     		du = 108.433054936538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20776178)-sin(-1.20777880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355112629670167-0.355096718922361)×R²
    abs(1.98861434-1.98856641)×1.591074780527e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.591074780527e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.591074780527e-05×40589641000000     		ar = 11758.1388375514m²