Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107016 / 100888
↖ ↑ ↗
← S 69.185993°
E113.928223°		 ← 108.51 m → S 69.185993°
E113.930969°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.186970°
E113.928223°		 ← 108.50 m →
11 779 m²		 S 69.186970°
E113.930969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816471099853516 y=0.769718170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816471099853516 × 217)
    floor (0.816471099853516 × 131072)
    floor (107016.5)     		tx = 107016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769718170166016 × 217)
    floor (0.769718170166016 × 131072)
    floor (100888.5)     		ty = 100888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107016 / 100888 ti = "17/107016/100888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107016/100888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107016 ÷ 217
    107016 ÷ 131072     		x = 0.81646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100888 ÷ 217
    100888 ÷ 131072     		y = 0.76971435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81646728515625 × 2 - 1) × π
    0.6329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98842260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.5394287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69466527536823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98842260} λ = 1.98842260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69466527536823))-π/2
    2×atan(0.183660694498478)-π/2
    2×0.181636471990836-π/2
    0.363272943981672-1.57079632675     		φ = -1.20752338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98842260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20752338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.185993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107016 KachelY 100888 1.98842260 -1.20752338 113.928223 -69.185993
    Oben rechts KachelX + 1 107017 KachelY 100888 1.98847053 -1.20752338 113.930969 -69.185993
    Unten links KachelX 107016 KachelY + 1 100889 1.98842260 -1.20754042 113.928223 -69.186970
    Unten rechts KachelX + 1 107017 KachelY + 1 100889 1.98847053 -1.20754042 113.930969 -69.186970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20752338--1.20754042) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20752338--1.20754042) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98842260-1.98847053) × cos(-1.20752338) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355335481504743 × 6371000     		do = 108.505963963382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98842260-1.98847053) × cos(-1.20754042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355319553503354 × 6371000     		du = 108.501100156544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20752338)-sin(-1.20754042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355335481504743-0.355319553503354)×R²
    abs(1.98847053-1.98842260)×1.59280013894425e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59280013894425e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59280013894425e-05×40589641000000     		ar = 11779.3430872508m²