Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107003 / 100875
↖ ↑ ↗
← S 69.173302°
E113.892517°		 ← 108.57 m → S 69.173302°
E113.895263°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.174279°
E113.892517°		 ← 108.56 m →
11 786 m²		 S 69.174279°
E113.895263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816371917724609 y=0.769618988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816371917724609 × 217)
    floor (0.816371917724609 × 131072)
    floor (107003.5)     		tx = 107003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769618988037109 × 217)
    floor (0.769618988037109 × 131072)
    floor (100875.5)     		ty = 100875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107003 / 100875 ti = "17/107003/100875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107003/100875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107003 ÷ 217
    107003 ÷ 131072     		x = 0.816368103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100875 ÷ 217
    100875 ÷ 131072     		y = 0.769615173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816368103027344 × 2 - 1) × π
    0.632736206054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.98779942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769615173339844 × 2 - 1) × π
    -0.539230346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.69404209567316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98779942} λ = 1.98779942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69404209567316))-π/2
    2×atan(0.183775183784064)-π/2
    2×0.181747223171334-π/2
    0.363494446342668-1.57079632675     		φ = -1.20730188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98779942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.892517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20730188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.173302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107003 KachelY 100875 1.98779942 -1.20730188 113.892517 -69.173302
    Oben rechts KachelX + 1 107004 KachelY 100875 1.98784735 -1.20730188 113.895263 -69.173302
    Unten links KachelX 107003 KachelY + 1 100876 1.98779942 -1.20731892 113.892517 -69.174279
    Unten rechts KachelX + 1 107004 KachelY + 1 100876 1.98784735 -1.20731892 113.895263 -69.174279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20730188--1.20731892) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dl = 108.561840000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20730188--1.20731892) × R
    1.70400000001347e-05 × 6371000     		dr = 108.561840000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98779942-1.98784735) × cos(-1.20730188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355542517438926 × 6371000     		do = 108.569184876527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98779942-1.98784735) × cos(-1.20731892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355526590779061 × 6371000     		du = 108.56432147934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20730188)-sin(-1.20731892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355542517438926-0.355526590779061)×R²
    abs(1.98784735-1.98779942)×1.59266598649399e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59266598649399e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59266598649399e-05×40589641000000     		ar = 11786.2064881419m²