Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107001 / 100858
↖ ↑ ↗
← S 69.156695°
E113.887024°		 ← 108.67 m → S 69.156695°
E113.889771°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
S 69.157672°
E113.887024°		 ← 108.67 m →
11 805 m²		 S 69.157672°
E113.889771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816356658935547 y=0.769489288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816356658935547 × 217)
    floor (0.816356658935547 × 131072)
    floor (107001.5)     		tx = 107001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769489288330078 × 217)
    floor (0.769489288330078 × 131072)
    floor (100858.5)     		ty = 100858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107001 / 100858 ti = "17/107001/100858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107001/100858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107001 ÷ 217
    107001 ÷ 131072     		x = 0.816352844238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100858 ÷ 217
    100858 ÷ 131072     		y = 0.769485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816352844238281 × 2 - 1) × π
    0.632705688476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.98770354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.538970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69322716837962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98770354} λ = 1.98770354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69322716837962))-π/2
    2×atan(0.183925008236932)-π/2
    2×0.181892149006422-π/2
    0.363784298012844-1.57079632675     		φ = -1.20701203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98770354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.887024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20701203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.156695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107001 KachelY 100858 1.98770354 -1.20701203 113.887024 -69.156695
    Oben rechts KachelX + 1 107002 KachelY 100858 1.98775148 -1.20701203 113.889771 -69.156695
    Unten links KachelX 107001 KachelY + 1 100859 1.98770354 -1.20702908 113.887024 -69.157672
    Unten rechts KachelX + 1 107002 KachelY + 1 100859 1.98775148 -1.20702908 113.889771 -69.157672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20701203--1.20702908) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20701203--1.20702908) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98770354-1.98775148) × cos(-1.20701203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355813413732461 × 6371000     		do = 108.674575191092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98770354-1.98775148) × cos(-1.20702908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355797479483635 × 6371000     		du = 108.669708461353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20701203)-sin(-1.20702908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355813413732461-0.355797479483635)×R²
    abs(1.98775148-1.98770354)×1.59342488258996e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59342488258996e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59342488258996e-05×40589641000000     		ar = 11804.5711760851m²