Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107000 / 100872
↖ ↑ ↗
← S 69.170373°
E113.884278°		 ← 108.58 m → S 69.170373°
E113.887024°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
S 69.171349°
E113.884278°		 ← 108.58 m →
11 788 m²		 S 69.171349°
E113.887024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816349029541016 y=0.769596099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816349029541016 × 217)
    floor (0.816349029541016 × 131072)
    floor (107000.5)     		tx = 107000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769596099853516 × 217)
    floor (0.769596099853516 × 131072)
    floor (100872.5)     		ty = 100872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107000 / 100872 ti = "17/107000/100872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107000/100872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107000 ÷ 217
    107000 ÷ 131072     		x = 0.81634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100872 ÷ 217
    100872 ÷ 131072     		y = 0.76959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81634521484375 × 2 - 1) × π
    0.6326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98765561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98765561} λ = 1.98765561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6938982849743))-π/2
    2×atan(0.183801614522143)-π/2
    2×0.181772790298499-π/2
    0.363545580596998-1.57079632675     		φ = -1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98765561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.884278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107000 KachelY 100872 1.98765561 -1.20725075 113.884278 -69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 107001 KachelY 100872 1.98770354 -1.20725075 113.887024 -69.170373
    Unten links KachelX 107000 KachelY + 1 100873 1.98765561 -1.20726779 113.884278 -69.171349
    Unten rechts KachelX + 1 107001 KachelY + 1 100873 1.98770354 -1.20726779 113.887024 -69.171349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20725075--1.20726779) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20725075--1.20726779) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98765561-1.98770354) × cos(-1.20725075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 108.58377773298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98765561-1.98770354) × cos(-1.20726779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.355574379795423 × 6371000     		du = 108.578914430388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20725075)-sin(-1.20726779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355574379795423)×R²
    abs(1.98770354-1.98765561)×1.5926350082629e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5926350082629e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5926350082629e-05×40589641000000     		ar = 11787.7907205574m²