Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1070 / 3086
↖ ↑ ↗
← N 40.513799°
W132.978516°		 ← 3 714.95 m → N 40.513799°
W132.934570°		 →
↑
3 715.89 m
↓
↑
3 715.89 m
↓
N 40.480382°
W132.978516°		 ← 3 716.81 m →
13 807 785 m²		 N 40.480382°
W132.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13067626953125 y=0.37677001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13067626953125 × 213)
    floor (0.13067626953125 × 8192)
    floor (1070.5)     		tx = 1070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37677001953125 × 213)
    floor (0.37677001953125 × 8192)
    floor (3086.5)     		ty = 3086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1070 / 3086 ti = "13/1070/3086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1070/3086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1070 ÷ 213
    1070 ÷ 8192     		x = 0.130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3086 ÷ 213
    3086 ÷ 8192     		y = 0.376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.73876953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32091293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.376708984375 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.774660297860107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32091293} λ = -2.32091293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.774660297860107))-π/2
    2×atan(2.16985489761932)-π/2
    2×1.13894775726264-π/2
    2.27789551452528-1.57079632675     		φ = 0.70709919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32091293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70709919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.513799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1070 KachelY 3086 -2.32091293 0.70709919 -132.978516 40.513799
    Oben rechts KachelX + 1 1071 KachelY 3086 -2.32014594 0.70709919 -132.934570 40.513799
    Unten links KachelX 1070 KachelY + 1 3087 -2.32091293 0.70651594 -132.978516 40.480382
    Unten rechts KachelX + 1 1071 KachelY + 1 3087 -2.32014594 0.70651594 -132.934570 40.480382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70709919-0.70651594) × R
    0.000583250000000035 × 6371000     		dl = 3715.88575000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70709919-0.70651594) × R
    0.000583250000000035 × 6371000     		dr = 3715.88575000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32091293--2.32014594) × cos(0.70709919) × R
    0.000766989999999801 × 0.760249528568918 × 6371000     		do = 3714.95422007672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32091293--2.32014594) × cos(0.70651594) × R
    0.000766989999999801 × 0.760628296615062 × 6371000     		du = 3716.80506759267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70709919)-sin(0.70651594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760249528568918-0.760628296615062)×R²
    abs(-2.32014594--2.32091293)×0.000378768046144673×R²
    0.000766989999999801×0.000378768046144673×6371000²
    0.000766989999999801×0.000378768046144673×40589641000000     		ar = 13807784.6086687m²