Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1070 / 308
↖ ↑ ↗
← N 82.070028°
W 85.957031°		 ← 1 348.31 m → N 82.070028°
W 85.869141°		 →
↑
1 349.31 m
↓
↑
1 349.31 m
↓
N 82.057894°
W 85.957031°		 ← 1 350.36 m →
1 820 673 m²		 N 82.057894°
W 85.869141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2613525390625 y=0.0753173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2613525390625 × 212)
    floor (0.2613525390625 × 4096)
    floor (1070.5)     		tx = 1070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0753173828125 × 212)
    floor (0.0753173828125 × 4096)
    floor (308.5)     		ty = 308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1070 / 308 ti = "12/1070/308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1070/308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1070 ÷ 212
    1070 ÷ 4096     		x = 0.26123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 308 ÷ 212
    308 ÷ 4096     		y = 0.0751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50023321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0751953125 × 2 - 1) × π
    0.849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66912657084473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50023321} λ = -1.50023321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66912657084473))-π/2
    2×atan(14.4273624090763)-π/2
    2×1.50159426799134-π/2
    3.00318853598267-1.57079632675     		φ = 1.43239221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50023321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43239221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.070028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1070 KachelY 308 -1.50023321 1.43239221 -85.957031 82.070028
    Oben rechts KachelX + 1 1071 KachelY 308 -1.49869923 1.43239221 -85.869141 82.070028
    Unten links KachelX 1070 KachelY + 1 309 -1.50023321 1.43218042 -85.957031 82.057894
    Unten rechts KachelX + 1 1071 KachelY + 1 309 -1.49869923 1.43218042 -85.869141 82.057894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43239221-1.43218042) × R
    0.000211790000000045 × 6371000     		dl = 1349.31409000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43239221-1.43218042) × R
    0.000211790000000045 × 6371000     		dr = 1349.31409000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50023321--1.49869923) × cos(1.43239221) × R
    0.00153398000000005 × 0.13796266854006 × 6371000     		do = 1348.30730818304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50023321--1.49869923) × cos(1.43218042) × R
    0.00153398000000005 × 0.138172430187563 × 6371000     		du = 1350.35730594909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43239221)-sin(1.43218042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13796266854006-0.138172430187563)×R²
    abs(-1.49869923--1.50023321)×0.00020976164750347×R²
    0.00153398000000005×0.00020976164750347×6371000²
    0.00153398000000005×0.00020976164750347×40589641000000     		ar = 1820673.10082052m²