Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106999 / 100859
↖ ↑ ↗
← S 69.157672°
E113.881531°		 ← 108.67 m → S 69.157672°
E113.884278°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 69.158650°
E113.881531°		 ← 108.66 m →
11 811 m²		 S 69.158650°
E113.884278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816341400146484 y=0.769496917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816341400146484 × 217)
    floor (0.816341400146484 × 131072)
    floor (106999.5)     		tx = 106999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769496917724609 × 217)
    floor (0.769496917724609 × 131072)
    floor (100859.5)     		ty = 100859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106999 / 100859 ti = "17/106999/100859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106999/100859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106999 ÷ 217
    106999 ÷ 131072     		x = 0.816337585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100859 ÷ 217
    100859 ÷ 131072     		y = 0.769493103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816337585449219 × 2 - 1) × π
    0.632675170898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.98760767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769493103027344 × 2 - 1) × π
    -0.538986206054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.69327510527924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98760767} λ = 1.98760767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69327510527924))-π/2
    2×atan(0.183916191653596)-π/2
    2×0.181883620901476-π/2
    0.363767241802952-1.57079632675     		φ = -1.20702908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98760767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.881531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20702908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.157672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106999 KachelY 100859 1.98760767 -1.20702908 113.881531 -69.157672
    Oben rechts KachelX + 1 107000 KachelY 100859 1.98765561 -1.20702908 113.884278 -69.157672
    Unten links KachelX 106999 KachelY + 1 100860 1.98760767 -1.20704614 113.881531 -69.158650
    Unten rechts KachelX + 1 107000 KachelY + 1 100860 1.98765561 -1.20704614 113.884278 -69.158650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20702908--1.20704614) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20702908--1.20704614) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98760767-1.98765561) × cos(-1.20702908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355797479483635 × 6371000     		do = 108.669708461353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98760767-1.98765561) × cos(-1.20704614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355781535785686 × 6371000     		du = 108.664838845609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20702908)-sin(-1.20704614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355797479483635-0.355781535785686)×R²
    abs(1.98765561-1.98760767)×1.59436979486061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59436979486061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59436979486061e-05×40589641000000     		ar = 11810.9655597272m²