Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106988 / 100773
↖ ↑ ↗
← S 69.073468°
E113.851318°		 ← 109.09 m → S 69.073468°
E113.854065°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 69.074450°
E113.851318°		 ← 109.08 m →
11 905 m²		 S 69.074450°
E113.854065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816257476806641 y=0.768840789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816257476806641 × 217)
    floor (0.816257476806641 × 131072)
    floor (106988.5)     		tx = 106988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768840789794922 × 217)
    floor (0.768840789794922 × 131072)
    floor (100773.5)     		ty = 100773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106988 / 100773 ti = "17/106988/100773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106988/100773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106988 ÷ 217
    106988 ÷ 131072     		x = 0.816253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100773 ÷ 217
    100773 ÷ 131072     		y = 0.768836975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816253662109375 × 2 - 1) × π
    0.63250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98708036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768836975097656 × 2 - 1) × π
    -0.537673950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.68915253191192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98708036} λ = 1.98708036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68915253191192))-π/2
    2×atan(0.184675964681084)-π/2
    2×0.182618435875038-π/2
    0.365236871750075-1.57079632675     		φ = -1.20555945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98708036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.851318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20555945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.073468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106988 KachelY 100773 1.98708036 -1.20555945 113.851318 -69.073468
    Oben rechts KachelX + 1 106989 KachelY 100773 1.98712830 -1.20555945 113.854065 -69.073468
    Unten links KachelX 106988 KachelY + 1 100774 1.98708036 -1.20557658 113.851318 -69.074450
    Unten rechts KachelX + 1 106989 KachelY + 1 100774 1.98712830 -1.20557658 113.854065 -69.074450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20555945--1.20557658) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20555945--1.20557658) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98708036-1.98712830) × cos(-1.20555945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357170556703101 × 6371000     		do = 109.089081587185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98708036-1.98712830) × cos(-1.20557658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357154556559512 × 6371000     		du = 109.084194731489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20555945)-sin(-1.20557658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357170556703101-0.357154556559512)×R²
    abs(1.98712830-1.98708036)×1.60001435896562e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60001435896562e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60001435896562e-05×40589641000000     		ar = 11905.1953458147m²