Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106985 / 100777
↖ ↑ ↗
← S 69.077393°
E113.843078°		 ← 109.07 m → S 69.077393°
E113.845825°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
S 69.078373°
E113.843078°		 ← 109.06 m →
11 889 m²		 S 69.078373°
E113.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816234588623047 y=0.768871307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816234588623047 × 217)
    floor (0.816234588623047 × 131072)
    floor (106985.5)     		tx = 106985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768871307373047 × 217)
    floor (0.768871307373047 × 131072)
    floor (100777.5)     		ty = 100777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106985 / 100777 ti = "17/106985/100777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106985/100777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106985 ÷ 217
    106985 ÷ 131072     		x = 0.816230773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100777 ÷ 217
    100777 ÷ 131072     		y = 0.768867492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816230773925781 × 2 - 1) × π
    0.632461547851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.98693655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768867492675781 × 2 - 1) × π
    -0.537734985351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.6893442795104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98693655} λ = 1.98693655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6893442795104))-π/2
    2×atan(0.184640556903146)-π/2
    2×0.182584195643569-π/2
    0.365168391287137-1.57079632675     		φ = -1.20562794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98693655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.843078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20562794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.077393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106985 KachelY 100777 1.98693655 -1.20562794 113.843078 -69.077393
    Oben rechts KachelX + 1 106986 KachelY 100777 1.98698449 -1.20562794 113.845825 -69.077393
    Unten links KachelX 106985 KachelY + 1 100778 1.98693655 -1.20564505 113.843078 -69.078373
    Unten rechts KachelX + 1 106986 KachelY + 1 100778 1.98698449 -1.20564505 113.845825 -69.078373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20562794--1.20564505) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20562794--1.20564505) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98693655-1.98698449) × cos(-1.20562794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357106583521857 × 6371000     		do = 109.069542530963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98693655-1.98698449) × cos(-1.20564505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357090601640665 × 6371000     		du = 109.064661253074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20562794)-sin(-1.20564505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357106583521857-0.357090601640665)×R²
    abs(1.98698449-1.98693655)×1.59818811920065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59818811920065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59818811920065e-05×40589641000000     		ar = 11889.1659205323m²