Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106984 / 100776
↖ ↑ ↗
← S 69.076412°
E113.840332°		 ← 109.05 m → S 69.076412°
E113.843078°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 69.077393°
E113.840332°		 ← 109.05 m →
11 894 m²		 S 69.077393°
E113.843078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816226959228516 y=0.768863677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816226959228516 × 217)
    floor (0.816226959228516 × 131072)
    floor (106984.5)     		tx = 106984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768863677978516 × 217)
    floor (0.768863677978516 × 131072)
    floor (100776.5)     		ty = 100776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106984 / 100776 ti = "17/106984/100776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106984/100776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106984 ÷ 217
    106984 ÷ 131072     		x = 0.81622314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100776 ÷ 217
    100776 ÷ 131072     		y = 0.76885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81622314453125 × 2 - 1) × π
    0.6324462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98688862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76885986328125 × 2 - 1) × π
    -0.5377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68929634261078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98688862} λ = 1.98688862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68929634261078))-π/2
    2×atan(0.184649408211138)-π/2
    2×0.182592755126522-π/2
    0.365185510253043-1.57079632675     		φ = -1.20561082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98688862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20561082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.076412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106984 KachelY 100776 1.98688862 -1.20561082 113.840332 -69.076412
    Oben rechts KachelX + 1 106985 KachelY 100776 1.98693655 -1.20561082 113.843078 -69.076412
    Unten links KachelX 106984 KachelY + 1 100777 1.98688862 -1.20562794 113.840332 -69.077393
    Unten rechts KachelX + 1 106985 KachelY + 1 100777 1.98693655 -1.20562794 113.843078 -69.077393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20561082--1.20562794) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20561082--1.20562794) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98688862-1.98693655) × cos(-1.20561082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357122574639081 × 6371000     		do = 109.051674350683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98688862-1.98693655) × cos(-1.20562794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357106583521857 × 6371000     		du = 109.046791270666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20561082)-sin(-1.20562794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357122574639081-0.357106583521857)×R²
    abs(1.98693655-1.98688862)×1.59911172237792e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59911172237792e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59911172237792e-05×40589641000000     		ar = 11894.1655777471m²