Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106982 / 100765
↖ ↑ ↗
← S 69.065619°
E113.834839°		 ← 109.13 m → S 69.065619°
E113.837586°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 69.066600°
E113.834839°		 ← 109.12 m →
11 903 m²		 S 69.066600°
E113.837586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816211700439453 y=0.768779754638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816211700439453 × 217)
    floor (0.816211700439453 × 131072)
    floor (106982.5)     		tx = 106982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768779754638672 × 217)
    floor (0.768779754638672 × 131072)
    floor (100765.5)     		ty = 100765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106982 / 100765 ti = "17/106982/100765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106982/100765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106982 ÷ 217
    106982 ÷ 131072     		x = 0.816207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100765 ÷ 217
    100765 ÷ 131072     		y = 0.768775939941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816207885742188 × 2 - 1) × π
    0.632415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98679274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768775939941406 × 2 - 1) × π
    -0.537551879882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68876903671496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98679274} λ = 1.98679274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68876903671496))-π/2
    2×atan(0.184746800608284)-π/2
    2×0.182686934737814-π/2
    0.365373869475627-1.57079632675     		φ = -1.20542246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98679274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.834839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20542246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.065619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106982 KachelY 100765 1.98679274 -1.20542246 113.834839 -69.065619
    Oben rechts KachelX + 1 106983 KachelY 100765 1.98684068 -1.20542246 113.837586 -69.065619
    Unten links KachelX 106982 KachelY + 1 100766 1.98679274 -1.20543958 113.834839 -69.066600
    Unten rechts KachelX + 1 106983 KachelY + 1 100766 1.98684068 -1.20543958 113.837586 -69.066600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20542246--1.20543958) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dl = 109.071519999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20542246--1.20543958) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dr = 109.071519999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98679274-1.98684068) × cos(-1.20542246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357298507378859 × 6371000     		do = 109.128161017012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98679274-1.98684068) × cos(-1.20543958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357282517413515 × 6371000     		du = 109.123277270014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20542246)-sin(-1.20543958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357298507378859-0.357282517413515)×R²
    abs(1.98684068-1.98679274)×1.5989965344243e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5989965344243e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5989965344243e-05×40589641000000     		ar = 11902.5080582675m²