Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106981 / 100766
↖ ↑ ↗
← S 69.066600°
E113.832092°		 ← 109.12 m → S 69.066600°
E113.834839°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 69.067582°
E113.832092°		 ← 109.12 m →
11 909 m²		 S 69.067582°
E113.834839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816204071044922 y=0.768787384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816204071044922 × 217)
    floor (0.816204071044922 × 131072)
    floor (106981.5)     		tx = 106981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768787384033203 × 217)
    floor (0.768787384033203 × 131072)
    floor (100766.5)     		ty = 100766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106981 / 100766 ti = "17/106981/100766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106981/100766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106981 ÷ 217
    106981 ÷ 131072     		x = 0.816200256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100766 ÷ 217
    100766 ÷ 131072     		y = 0.768783569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816200256347656 × 2 - 1) × π
    0.632400512695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.98674480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768783569335938 × 2 - 1) × π
    -0.537567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68881697361458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98674480} λ = 1.98674480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68881697361458))-π/2
    2×atan(0.184737944631714)-π/2
    2×0.182678371038124-π/2
    0.365356742076248-1.57079632675     		φ = -1.20543958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98674480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.832092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20543958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.066600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106981 KachelY 100766 1.98674480 -1.20543958 113.832092 -69.066600
    Oben rechts KachelX + 1 106982 KachelY 100766 1.98679274 -1.20543958 113.834839 -69.066600
    Unten links KachelX 106981 KachelY + 1 100767 1.98674480 -1.20545671 113.832092 -69.067582
    Unten rechts KachelX + 1 106982 KachelY + 1 100767 1.98679274 -1.20545671 113.834839 -69.067582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20543958--1.20545671) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20543958--1.20545671) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98674480-1.98679274) × cos(-1.20543958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357282517413515 × 6371000     		do = 109.123277270014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98674480-1.98679274) × cos(-1.20545671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357266518003428 × 6371000     		du = 109.118390638349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20543958)-sin(-1.20545671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357282517413515-0.357266518003428)×R²
    abs(1.98679274-1.98674480)×1.59994100866756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59994100866756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59994100866756e-05×40589641000000     		ar = 11908.9273118216m²