Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106978 / 44201
↖ ↑ ↗
← N 50.441764°
E113.823852°		 ← 194.51 m → N 50.441764°
E113.826599°		 →
↑
194.51 m
↓
↑
194.51 m
↓
N 50.440015°
E113.823852°		 ← 194.52 m →
37 835 m²		 N 50.440015°
E113.826599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816181182861328 y=0.337230682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816181182861328 × 217)
    floor (0.816181182861328 × 131072)
    floor (106978.5)     		tx = 106978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337230682373047 × 217)
    floor (0.337230682373047 × 131072)
    floor (44201.5)     		ty = 44201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106978 / 44201 ti = "17/106978/44201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106978/44201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106978 ÷ 217
    106978 ÷ 131072     		x = 0.816177368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44201 ÷ 217
    44201 ÷ 131072     		y = 0.337226867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816177368164062 × 2 - 1) × π
    0.632354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98660099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337226867675781 × 2 - 1) × π
    0.325546264648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0227337533939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98660099} λ = 1.98660099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0227337533939))-π/2
    2×atan(2.78078636661906)-π/2
    2×1.22558559359008-π/2
    2.45117118718017-1.57079632675     		φ = 0.88037486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98660099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.823852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88037486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.441764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106978 KachelY 44201 1.98660099 0.88037486 113.823852 50.441764
    Oben rechts KachelX + 1 106979 KachelY 44201 1.98664893 0.88037486 113.826599 50.441764
    Unten links KachelX 106978 KachelY + 1 44202 1.98660099 0.88034433 113.823852 50.440015
    Unten rechts KachelX + 1 106979 KachelY + 1 44202 1.98664893 0.88034433 113.826599 50.440015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88037486-0.88034433) × R
    3.05299999999731e-05 × 6371000     		dl = 194.506629999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88037486-0.88034433) × R
    3.05299999999731e-05 × 6371000     		dr = 194.506629999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98660099-1.98664893) × cos(0.88037486) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.636862180262957 × 6371000     		do = 194.514102685601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98660099-1.98664893) × cos(0.88034433) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.636885717914331 × 6371000     		du = 194.521291690189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88037486)-sin(0.88034433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636862180262957-0.636885717914331)×R²
    abs(1.98664893-1.98660099)×2.35376513730845e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.35376513730845e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.35376513730845e-05×40589641000000     		ar = 37834.9817580911m²