Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10697 / 7209
↖ ↑ ↗
← N 80.140222°
W121.239624°		 ← 104.59 m → N 80.140222°
W121.234131°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
N 80.139281°
W121.239624°		 ← 104.60 m →
10 942 m²		 N 80.139281°
W121.234131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163230895996094 y=0.110008239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163230895996094 × 216)
    floor (0.163230895996094 × 65536)
    floor (10697.5)     		tx = 10697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110008239746094 × 216)
    floor (0.110008239746094 × 65536)
    floor (7209.5)     		ty = 7209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10697 / 7209 ti = "16/10697/7209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10697/7209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10697 ÷ 216
    10697 ÷ 65536     		x = 0.163223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7209 ÷ 216
    7209 ÷ 65536     		y = 0.110000610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.163223266601562 × 2 - 1) × π
    -0.673553466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11603062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110000610351562 × 2 - 1) × π
    0.779998779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45043843477803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11603062} λ = -2.11603062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45043843477803))-π/2
    2×atan(11.5934285673931)-π/2
    2×1.4847535321339-π/2
    2.96950706426779-1.57079632675     		φ = 1.39871074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11603062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.239624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39871074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.140222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10697 KachelY 7209 -2.11603062 1.39871074 -121.239624 80.140222
    Oben rechts KachelX + 1 10698 KachelY 7209 -2.11593475 1.39871074 -121.234131 80.140222
    Unten links KachelX 10697 KachelY + 1 7210 -2.11603062 1.39869432 -121.239624 80.139281
    Unten rechts KachelX + 1 10698 KachelY + 1 7210 -2.11593475 1.39869432 -121.234131 80.139281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39871074-1.39869432) × R
    1.6420000000128e-05 × 6371000     		dl = 104.611820000815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39871074-1.39869432) × R
    1.6420000000128e-05 × 6371000     		dr = 104.611820000815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11603062--2.11593475) × cos(1.39871074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171237502208219 × 6371000     		do = 104.589772114126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11603062--2.11593475) × cos(1.39869432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171253679658109 × 6371000     		du = 104.599653102668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39871074)-sin(1.39869432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171237502208219-0.171253679658109)×R²
    abs(-2.11593475--2.11603062)×1.61774498897704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61774498897704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61774498897704e-05×40589641000000     		ar = 10941.8432486494m²