Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106963 / 43605
↖ ↑ ↗
← N 51.472829°
E113.782654°		 ← 190.25 m → N 51.472829°
E113.785401°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
N 51.471119°
E113.782654°		 ← 190.25 m →
36 193 m²		 N 51.471119°
E113.785401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816066741943359 y=0.332683563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816066741943359 × 217)
    floor (0.816066741943359 × 131072)
    floor (106963.5)     		tx = 106963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332683563232422 × 217)
    floor (0.332683563232422 × 131072)
    floor (43605.5)     		ty = 43605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106963 / 43605 ti = "17/106963/43605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106963/43605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106963 ÷ 217
    106963 ÷ 131072     		x = 0.816062927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43605 ÷ 217
    43605 ÷ 131072     		y = 0.332679748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816062927246094 × 2 - 1) × π
    0.632125854492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.98588194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332679748535156 × 2 - 1) × π
    0.334640502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.05130414556745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98588194} λ = 1.98588194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05130414556745))-π/2
    2×atan(2.86138034229918)-π/2
    2×1.23458333987309-π/2
    2.46916667974617-1.57079632675     		φ = 0.89837035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98588194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.782654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89837035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.472829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106963 KachelY 43605 1.98588194 0.89837035 113.782654 51.472829
    Oben rechts KachelX + 1 106964 KachelY 43605 1.98592988 0.89837035 113.785401 51.472829
    Unten links KachelX 106963 KachelY + 1 43606 1.98588194 0.89834049 113.782654 51.471119
    Unten rechts KachelX + 1 106964 KachelY + 1 43606 1.98592988 0.89834049 113.785401 51.471119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89837035-0.89834049) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dl = 190.2380599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89837035-0.89834049) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dr = 190.2380599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98588194-1.98592988) × cos(0.89837035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622885690980915 × 6371000     		do = 190.245323103133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98588194-1.98592988) × cos(0.89834049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622909050565319 × 6371000     		du = 190.252457721485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89837035)-sin(0.89834049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622885690980915-0.622909050565319)×R²
    abs(1.98592988-1.98588194)×2.33595844039147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33595844039147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33595844039147e-05×40589641000000     		ar = 36192.5798318908m²