Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106961 / 44234
↖ ↑ ↗
← N 50.384005°
E113.777161°		 ← 194.71 m → N 50.384005°
E113.779907°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 50.382254°
E113.777161°		 ← 194.72 m →
37 910 m²		 N 50.382254°
E113.779907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816051483154297 y=0.337482452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816051483154297 × 217)
    floor (0.816051483154297 × 131072)
    floor (106961.5)     		tx = 106961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337482452392578 × 217)
    floor (0.337482452392578 × 131072)
    floor (44234.5)     		ty = 44234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106961 / 44234 ti = "17/106961/44234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106961/44234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106961 ÷ 217
    106961 ÷ 131072     		x = 0.816047668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44234 ÷ 217
    44234 ÷ 131072     		y = 0.337478637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816047668457031 × 2 - 1) × π
    0.632095336914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.98578607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337478637695312 × 2 - 1) × π
    0.325042724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02115183570644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98578607} λ = 1.98578607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02115183570644))-π/2
    2×atan(2.77639086905495)-π/2
    2×1.22508155459554-π/2
    2.45016310919109-1.57079632675     		φ = 0.87936678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98578607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.777161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87936678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.384005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106961 KachelY 44234 1.98578607 0.87936678 113.777161 50.384005
    Oben rechts KachelX + 1 106962 KachelY 44234 1.98583400 0.87936678 113.779907 50.384005
    Unten links KachelX 106961 KachelY + 1 44235 1.98578607 0.87933622 113.777161 50.382254
    Unten rechts KachelX + 1 106962 KachelY + 1 44235 1.98583400 0.87933622 113.779907 50.382254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87936678-0.87933622) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87936678-0.87933622) × R
    3.05600000000128e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98578607-1.98583400) × cos(0.87936678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637639063700393 × 6371000     		do = 194.710758898971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98578607-1.98583400) × cos(0.87933622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.637662604848416 × 6371000     		du = 194.717947471719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87936678)-sin(0.87933622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637639063700393-0.637662604848416)×R²
    abs(1.98583400-1.98578607)×2.35411480230541e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35411480230541e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35411480230541e-05×40589641000000     		ar = 37910.4484079237m²