Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106961 / 43608
↖ ↑ ↗
← N 51.467697°
E113.777161°		 ← 190.23 m → N 51.467697°
E113.779907°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
N 51.465986°
E113.777161°		 ← 190.23 m →
36 189 m²		 N 51.465986°
E113.779907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816051483154297 y=0.332706451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816051483154297 × 217)
    floor (0.816051483154297 × 131072)
    floor (106961.5)     		tx = 106961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332706451416016 × 217)
    floor (0.332706451416016 × 131072)
    floor (43608.5)     		ty = 43608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106961 / 43608 ti = "17/106961/43608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106961/43608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106961 ÷ 217
    106961 ÷ 131072     		x = 0.816047668457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43608 ÷ 217
    43608 ÷ 131072     		y = 0.33270263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816047668457031 × 2 - 1) × π
    0.632095336914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.98578607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33270263671875 × 2 - 1) × π
    0.3345947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05116033486859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98578607} λ = 1.98578607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05116033486859))-π/2
    2×atan(2.86096887477988)-π/2
    2×1.23453854854047-π/2
    2.46907709708094-1.57079632675     		φ = 0.89828077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98578607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.777161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89828077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.467697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106961 KachelY 43608 1.98578607 0.89828077 113.777161 51.467697
    Oben rechts KachelX + 1 106962 KachelY 43608 1.98583400 0.89828077 113.779907 51.467697
    Unten links KachelX 106961 KachelY + 1 43609 1.98578607 0.89825091 113.777161 51.465986
    Unten rechts KachelX + 1 106962 KachelY + 1 43609 1.98583400 0.89825091 113.779907 51.465986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89828077-0.89825091) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dl = 190.2380599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89828077-0.89825091) × R
    2.98599999999372e-05 × 6371000     		dr = 190.2380599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98578607-1.98583400) × cos(0.89828077) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.622955768067913 × 6371000     		do = 190.227037937543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98578607-1.98583400) × cos(0.89825091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.62297912598606 × 6371000     		du = 190.234170558846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89828077)-sin(0.89825091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622955768067913-0.62297912598606)×R²
    abs(1.98583400-1.98578607)×2.33579181476706e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33579181476706e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33579181476706e-05×40589641000000     		ar = 36189.1011073446m²