Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 106960 / 100800
↖ ↑ ↗
← S 69.099940°
E113.774414°		 ← 108.96 m → S 69.099940°
E113.777161°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
S 69.100919°
E113.774414°		 ← 108.95 m →
11 870 m²		 S 69.100919°
E113.777161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 106960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816043853759766 y=0.769046783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816043853759766 × 217)
    floor (0.816043853759766 × 131072)
    floor (106960.5)     		tx = 106960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769046783447266 × 217)
    floor (0.769046783447266 × 131072)
    floor (100800.5)     		ty = 100800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 106960 / 100800 ti = "17/106960/100800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/106960/100800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 106960 ÷ 217
    106960 ÷ 131072     		x = 0.8160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100800 ÷ 217
    100800 ÷ 131072     		y = 0.76904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8160400390625 × 2 - 1) × π
    0.632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98573813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98573813} λ = 1.98573813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69044682820166))-π/2
    2×atan(0.184437093883333)-π/2
    2×0.182387433283499-π/2
    0.364774866566997-1.57079632675     		φ = -1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98573813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 106960 KachelY 100800 1.98573813 -1.20602146 113.774414 -69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 106961 KachelY 100800 1.98578607 -1.20602146 113.777161 -69.099940
    Unten links KachelX 106960 KachelY + 1 100801 1.98573813 -1.20603856 113.774414 -69.100919
    Unten rechts KachelX + 1 106961 KachelY + 1 100801 1.98578607 -1.20603856 113.777161 -69.100919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20602146--1.20603856) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20602146--1.20603856) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98573813-1.98578607) × cos(-1.20602146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 108.957267917318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98573813-1.98578607) × cos(-1.20603856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35672300821415 × 6371000     		du = 108.952388758762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20602146)-sin(-1.20603856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.35672300821415)×R²
    abs(1.98578607-1.98573813)×1.59749422428135e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59749422428135e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59749422428135e-05×40589641000000     		ar = 11869.9857143748m²