Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10696 / 7208
↖ ↑ ↗
← N 80.141162°
W121.245117°		 ← 104.59 m → N 80.141162°
W121.239624°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 80.140222°
W121.245117°		 ← 104.60 m →
10 935 m²		 N 80.140222°
W121.239624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.163215637207031 y=0.109992980957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.163215637207031 × 216)
    floor (0.163215637207031 × 65536)
    floor (10696.5)     		tx = 10696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109992980957031 × 216)
    floor (0.109992980957031 × 65536)
    floor (7208.5)     		ty = 7208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10696 / 7208 ti = "16/10696/7208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10696/7208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10696 ÷ 216
    10696 ÷ 65536     		x = 0.1632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7208 ÷ 216
    7208 ÷ 65536     		y = 0.1099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11612650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1099853515625 × 2 - 1) × π
    0.780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45053430857727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11612650} λ = -2.11612650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45053430857727))-π/2
    2×atan(11.5945401267199)-π/2
    2×1.4847617403413-π/2
    2.9695234806826-1.57079632675     		φ = 1.39872715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11612650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.245117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39872715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.141162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10696 KachelY 7208 -2.11612650 1.39872715 -121.245117 80.141162
    Oben rechts KachelX + 1 10697 KachelY 7208 -2.11603062 1.39872715 -121.239624 80.141162
    Unten links KachelX 10696 KachelY + 1 7209 -2.11612650 1.39871074 -121.245117 80.140222
    Unten rechts KachelX + 1 10697 KachelY + 1 7209 -2.11603062 1.39871074 -121.239624 80.140222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39872715-1.39871074) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39872715-1.39871074) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11612650--2.11603062) × cos(1.39872715) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.171221334564487 × 6371000     		do = 104.590805626223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11612650--2.11603062) × cos(1.39871074) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.171237502208219 × 6371000     		du = 104.600681655325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39872715)-sin(1.39871074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171221334564487-0.171237502208219)×R²
    abs(-2.11603062--2.11612650)×1.61676437321345e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.61676437321345e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.61676437321345e-05×40589641000000     		ar = 10935.2873118442m²